Plane perpendiculare

Cand doua plane sunt perpendiculare?

Cu ce ne ajuta sa stim cand doua plane sunt perpendiculare?

Stim ca doua drepte se numesc perpendiculare daca formeaza un unghi cu masura de 90^{0}

Astfel

Definitie: Doua plane se numesc perpendiculare daca formeaza un unghi diedru drept.

cand doua plane sunt perpendiculare

 

 

\alpha\perp \beta daca si numai daca m\left(\widehat{\alpha,\beta}\right)=90^{0}

Observatie. Daca \alpha\perp\beta, atunci si \beta\perp \alpha

Foarte utile sunt urmatoarele teoreme care ne ajuta in rezolvarea problemelor:

Teorema: Daca un plan \alpha contine o dreapta a, care este perpendiculara pe un plan \beta, atunci planele \alpha si \beta sunt perpendiculare.

cand doua plane sunt perpendiculare

d\subset\alpha

Si d\perp \beta\Rightarrow \alpha\perp \beta

Teorema. Dandu-se doua plane perpendiculare, atunci perpendiculara dusa dintr-un punct oarecare al unuia  pe dreapta de intersectie a celor doua plane este perpendculara pe cel de al doilea plan.

Prezentam anumite aplicatii in care aplicam ceea ce am mai spus mai sus.

Triunghiul echilateral ABC de latura 24 cm si triunghiul isoscel BCD BD=CD=6\sqrt{5} sunt situate in plane perpendiculare. Aflati:

a) distanta de la punctul D la dreapta AC

b) aria triunghiului ABD si masura unghiului plan corespunzator diedrului format de planele (ACD) si (ABC)

Demonstratie:

plane perpendiculare

Stim din ipoteza ca

\left(ABC\right)\perp\left(BCD\right)

Si cu teorema de mai sus stim si ca

DM\perp BC

Observam ca

DM, BC\subset\left(DBC\right) (triunghiul DBC este isoscel)

Dar si

MN\perp AC si cu Teorema celor trei perpendiculare obtinem ca DN\perp AC

Deci am obtinut ca

d\left(D, AC\right)=DN

Dar mai intai sa aflam DM, stim ca

DM este inaltime in triunghiul isoscel DBC, deci si mediana cu proprietatea triunghiului isoscel

Astfel obtinem BM=MB=\frac{BC}{2}=\frac{24}{2}=12 cm

In triunghiul DBM aplicam teorema lui Pitagora si obtinem:

DM^{2}=DB^{2}-BM^{2}\Rightarrow DM^{2}=\left(6\sqrt{5}\right)^{2}-12^{2}\Rightarrow DM^{2}=36\cdot 5-144\Rightarrow DM^{2}=180-144\Rightarrow DM=\sqrt{36}=6\;\; cm.

Acum i triunghiul CMN dreptunghic in N, stim ca masura unghiului C este de 60 de grade deci aplicam

\sin C=\frac{MN}{CM}\Rightarrow \sin 60^{0}=\frac{MN}{12}\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{MN}{12}\Rightarrow MN=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}

Acum in triunghiul DMN, dreptunghic in M aplicam Teorema lui Pitagora

DN^{2}=DM^{2}+MN^{2}\Rightarrow DN^{2}=6^{2}+\left(6\sqrt{3}\right)^{2}\Rightarrow DN^{2}=36+36\cdot 3\Rightarrow DN^{2}=36+108\Rightarrow DN=\sqrt{144}=12

b) Observam ca \Delta ADC\equiv\Delta ADB, deoarece:

[AD]\equiv[AD] (latura comuna)

[DB]\equiv[DB] (triunghiul DBC isoscel)

[AB]\equiv[AC] (deoarece triunghiul ABC este echilateral)

Si astfel obtinem si ca A_{\Delta ABD}=A_{\Delta ACD}

Si cum stim ca DN=12 cm, putem afla aria triunghiului ADC

A_{\Delta ADC}=\frac{AC\cdot DN}{2}=\frac{24\cdot 12}{2}^{(2}=\frac{12\cdot 12}{1}=144\;\;\; cm^{2}.

Acum sa aflam

m\left(\widehat{(ACD), (ABC)}\right)

Mai intai aflam ca

(ACD)\cap(ABC)=\left\{AC\right\}

De la punctul a)  stim ca DN\perp AC, dar putem duce si BN\perp AC (deoarece triunghiul ABC este echilateral)

Astfel obtinem unghiul

m\left(\widehat{(ACD), (ABC)}\right)=m\left(\widehat{DN, BN}\right)=m\left(\widehat{DNB}\right)=m\left(\widehat{DNM}\right)

deci in triunghiul DNM dreptunghic in M, putem aplica functiile trigonomutrice:

\sin \widehat{DNM}=\frac{DM}{DN}=\frac{6}{12}^{6)}=\frac{1}{2}

Deci obtinem ca unghiul cautat are masura de 30^{0}

cum aflam masura unui unghi diedru

 

Congruenta triunghiurilor Metoda triunghiurilor congruente

Cu ce ne ajuta congruenta triunghiurilor? Dar metoda triunghiurilor congruente?
Aceste notiuni sunt esentiale in intelegerea notiunilor ce vor urma pe tot parcursul acestor ani.
Stim inca de la unghiuri si de la dreapta ca doua segmente sunt congruente daca au aceiasi lungime dar si doua unghiuri se numesc congruente daca au aceiasi masura.
Asadar, doua triunghiuri se numesc congruente daca au laturile corespunzatoare respectiv congruente si unghiurile corespunzatoare respectiv congruente.
Sau doua triunghiuri se numesc congruente, daca prin suprapunere coincid.
cand doua triunghiuri sunt congrunete
Notam \Delta ABC\equiv\Delta DEF si citim triunghiul ABC este congruent cu triunghiul DEF.
Astfel avem \Delta ABC\equiv\Delta DEF daca si numai daca [AB]\equiv[DE], [AC]\equiv[DF], [BC]\equiv[EF]
dar si \widehat{ABC}\equiv\widehat{DEF}, \widehat{BAC}\equiv\widehat{EDF}, \widehat{ACB}\equiv\widehat{DFE}.
Foarte important e sa stim ca ordinea in care se scriu varfurile a doua triunghiuri este semnificativa.
Astfel \Delta ABC nu este echivalent cu \Delta FDE, deoarece cele doua triunghiuri prin suprapunere nu coincid.

Metoda triunghiurilor congruente consta in folosirea cazurilor de congruenta pe care le-am invatat, adica :
Cazul L.U.L. Doua triunghiuri se numesc congruente daca au cate doua laturi respectiv congruente si unghiurile formate de aceste laturi respectiv congruente, atunci triunghiurile sunt congruente.
Cazul U.L.U. Doua triunghiuri se numesc congruente daca au cate o latura si unghiurile alaturate acesteia respectiv congruente.
Cazul L.L.L. Doua triunghiuri se numesc congruente daca au laturile respectiv congruente.

Acum prezentam anumite probleme in care aplicam ceea ce am spus mai sus.

Fie triunghiul isoscel ABC, cu [AB]\equiv[AC] si punctele M, N\in (AB), P,Q\in (AC) astfel incat [AM]\equiv[MN]\equiv[NB] si [AP]\equiv[PQ]\equiv[QC].Aratati ca

a) [NP]\equiv[QM]

b) \Delta BQM\equiv\Delta CNP

Mai intai scriem ipoteza si concluzia problemei, astfel :

Ipoteza. \Delta ABC

[AB]\equiv[AC]

M, N\in (AB), P,Q\in (AC)

[AM]\equiv[MN]\equiv[NB]$ si [AP]\equiv[PQ]\equiv[QC]

Concluzie: [NP]\equiv[QM]

\Delta BQM\equiv\Delta CNP

Demonstratie: Mai intai realizam figura:

cum rezolvam problemele cu congruneta triunghiurilor
Astfel conform metodei triunghiurilor congruente trebuie sa gasim doua triunghiuri care sa contina cele doua elemente ce trebuie demonstratie.
Astfel luam triunghiurile:
\Delta ANP si \Delta AQM
\widehat{QAM}\equiv\widehat{NAP}(unghi comun)
[AM]\equiv[AP](deoarece triunghiul ABC fiind isoscel, stim ca AB=AC si punctele M si N imparte segmentul AM in trei segmente congrunete, la fel P si Q imparte segmentul AC la fel in trei segmente congruente, deci rezulta si ca [AM]\equiv[AP])
Dar mai obtinem si ca [AQ]\equiv[AP]
Sau cu cazul L.U.L, \Delta ANP\equiv\Delta AQM, de unde obtinem si ca [NP]\equiv[MQ]
Pentru cei ce nu intelegeti, dam anumite valori pentru segmentul AB, deci si pentru AC, astfel consideram AB=12 cm
Astfel din ipoteza stim ca AM=MN=NB==12:3=4, deci fiecare segment are 4 cm, iar pentru AC avem AP=PQ=QC=12:4=3
Si observati de mai sus ca AM=AP\Rightarrow [AM]\equiv[AP]
Dar stim si ca AN=AM+MN=4+4=8
Dar si AQ=AP+PQ=4+4=8
De unde obtinem ca AN=AQ\Rightarrow [AN]\equiv[AQ]
Si unghiul A ca mai sus comun si cu cazul de congruenta L.U.L cele doua triunghiuri sunt congruente.

b) \Delta BQM\equiv\Delta CNP
Stim din punctul e mai sus ca:
[NP]\equiv[QM]
Dar si [BM]\equiv[CP] () deoarece la fel ca mai sus segemntele AB si AC sunt impartite in trei parti egale, adica congruente).  Din punctul a) stim ca \Delta ANP\equiv\Delta AQM, de unde obtinem:\widehat{ANP}\equiv\widehat{AQM}, de unde obtinem si ca \widehat{BMQ}\equiv\widehat{CPN}(deoarece stim ca m\left(\widehat{BMQ}\right)=180^{0}-m\left(\widehat{AMQ}\right), dar si m\left(\widehat{CPN}\right)=180^{0}-m\left(\widehat{APN}\right) si observam ca obtinem tot doua unghiuri congruente.
Si astfel cu cazul de congruenta L.U.L obtinem \Delta BQM\equiv\Delta CNP.
metoda triunghiurilor congrunete

Criterii de congruenta a triunghiurilor dreptunghice

La congruenta triunghiurilor oarecare am invatat ca avem cazurile latura unghi latura (L.U.L), cazul latura latura latura (L.L.L), dar si cazul unghi latura unghi (U.L.U).

Astfel in cazul triunghiului dreptunghic stim ca elementele sale sunt: cele doua catele,  ipotenuza si unghiul de 90^{0}

Catetele sunt laturile ce formeaza unghiul de 90 de grade, iar ipotenuza este dreapta care se opune unghiului de 90 de grade.

care este elementele triunghiului dreptunghic

Astfel, AB si AC sunt catete, iar BC este ipotenuza.

In triunghiul dreptunghic avem unrmatoarele criterii de congruenta:

– criteriu I (C.C), adica cateta cateta . Doua triunghiuri dreptunghice sunt congruneta daca au un rand de catete respectiv congrunete.

Asestui criteriu de congruneta ii corespunde cazul L.U.L de la triunghiul oarecare.

– Criteriul II, cateta unghi (C.U). Doua triunghiuri dreptunghice sunt congrunete daca au un rand de catete  respectiv congrunete, iar unghiurile ascutite alaturate lor respectiv congrunete.

– Criteriul III, ipotenuza-unghi(I.U). Doua triunghiuri dreptunghice sunt congrunete, daca au ipotenuzele respectiv congrunete si o pereche de unghiuri ascutite respectiv congrunete.

Criteriului II si III de congruneta ii corespunde cazul U.L.U, de la truighiul oarecare.

– Criteriul IV, ipotenuza- cateta (I.C). Doua triunghiuri dreptunghici sunt congrunete, daca au ipotenuzele respectiv congruente si un rand de catete congrunete.

Acestui criteriu de congruneta ii corespunde cazul de congruneta L.L.L, de la truinghiul oarecare.

Observatie:

In cazul triunghiurilor oarecare mai avem si cazul particular de congruneta L.U.U. Acest caz exista si la triunghiurile dreptunghice si il enuntam astfel.

Doua triunghiuri dreptunghice sunt congrunete, daca au un rand de catete congrunete si unghiurile asuctie opuse lor respectiv congrunete.

De asemenea este foarte important sa stim ca daca avem triunghiuri dreptunghice este recomandat sa folosim cazurile de congruneta de la triunghiurile dreptunghice. Mai intai observam ca triunghiurile sunt dreptunghice, semnaland unghiurile drepte si apoi adaugam cele doua perechi deelemente congrunete pe care le-am gasit.

Prezentam o problema in care aplicam criterile de congruneta de mai sus.

Fie triunghiul isoscel ABC cu [AB]\equiv[AC], AD\perp AC, AE\perp AB si [AD]\equiv[AE].Aratati ca:

a) [BE]\equiv[CD]

b) \widehat{DBC}\equiv\widehat{ECB}

Astfel avem in ipoteza:

Ipoteza:

\Delta ABC isoscel, [AB]\equiv[AC]

[AB]\equiv[AC], AD\perp AC, AE\perp AB si [AD]\equiv[AE].

Concluzie:

[BE]\equiv[CD]

\widehat{DBC}\equiv\widehat{ECB}

Demonstratie:

Realizam mai intai figura:

CONGRUNETA TRIUNGHIURILOR DREPTUNGHICE

 
Obnservam ca triunghiurile:
\Delta ADC si Delta AEB sun dreptunghice in A
Astfel putem aplica Criteriile de congruneta de la triunghiul dreptunghic.
Astfel stim din ipoterza ca
[AB]\equiv[AC] (\Delta ABC este isoscel de baza BC)
Tot din ipoteza sim ca [AD]\equiv[AE]
Si astfel cu criteriile de congruneta de la triunghiul dreptunghic, cazul C.C obtinem ca
\Delta ADC\equiv\Delta AEB si cum triunghiurile sunt congrunete obtinem si ca toate laturile si toate unghiurile sunt congruneta, asadar [BE]\equiv[CD]
b) \widehat{DBC}\equiv\widehat{ECB}
Stim de la metoda triunghiurlor congrunete ca pentru a arata ca doua unghiuri sunt congrunete, trebuie sa gasim cele doua triunghiuri care sa contina cele doua elementel care trebuie deminstrate si astfel daca obtinem ca triunghiurle sunt congrunete, obtinem si ca unghiurile sunt congrunete.
Astfel consideram triunghirule:
\Delta \Delta DBC si \Delta ECB
Avem ca:
[BE]\equiv[CD] (din a) demonstrat mai sus)
[BC]\equiv[CB] (din constructie)
Stim din a) ca: \Delta ADC\equiv\Delta AEB, adica \widehat{ADC}\equiv\widehat{AEB}, \widehat{ACD}\equiv\widehat{ABE},\widehat{CAD}\equiv\widehat{BAE}
Astfel gasim ca \widehat{DCB}\equiv\widehat{EBC}, deci cu cazul L.U.L $latex\Delta DBC\equiv\Delta ECB$ si astfel gasim si ca \widehat{DBC}\equiv\widehat{ECB}
Asadar observati ca la punctul b) am folosit cazurile de congruneta pentru triunghiurle oarecare, deoarece nu am avut triunghiuri dreptunghice.
cum aratam ca doua triunghiuri oarecare sunt congruente

Calculul unor distante si masuri de unghiuri in doua plane perpendiculare

Pana in acest moment am invatat sa calculam distanta de la un punct la o dreapta, distanta de la un punct la un plan, dar si masuri de unghiuri, masura unghiului dintre doua drepte, masura unghiului dintre o dreapta si un plan. Pe deasupra am mai invatat si masura dintre doua plane, fie in corpurile studiate pana acum fie in anumite figuri geometrice.
Astfel incepem prin a calcula distanta dintre un punct si o dreapta, dar si distanta de la un punct la un plan precum si masura unghiului dintre o dreapta si un plan, avand doua plane perpendiculare, adica un triunghi dreptunghic si un patrat.

Problema
Patratul BCDE si triunghiul dreptunghic ABC sunt situate in plane perpendiculare. In triughiul ABC m\left(\widehat{B}\right)=90^{0}, AB=12\sqrt{3}, BC=12 cm
a) Determinati d(E, AC)
b) Calculati d(B,(EAC))
c) Calculati m\left(\widehat{(AD,(BCE))}\right)

Demonstratie:
distanta de la un punct la o dreapta
Stim ca (EBC)\perp(ABC)
Adica EB\perp (ABC)
Construim BF\perp AC,unde BF\subset (ABC) si BF este inaltime in triunghiul dreptunghic ABC

Si cu Teorema celor trei perpendiculare obtinem ca EF\perp AC
Deci distanta de la d(E, AC)=EF
distanta de la un punct la o dreata
Dar mai intai aflam BF, mai intai in triunghiul dreptunghic ABC aplicam Teorema lui Pitagora:
AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}\Rightarrow AC^{2}=\left(12\sqrt{3}\right)^{2}+12^{2}\Rightarrow AC=\sqrt{12^{2}\cdot 4}=12\cdot 2=24\;\; cm

Acum, cu teorema inaltimii stim ca:
BF=\frac{AB\cdot BC}{AC}=\frac{12\sqrt{3}\cdot 12}{24}=\frac{12\sqrt{3}\cdot 1}{2}=6\sqrt{3}
Acum in triunghiul EBF dreptunghic in B aplicam Teorema lui Pitagora: EF^{2}=EB^{2}+BF^{2}\Rightarrow EF^{2}=12^{2}+\left(6\sqrt{3}\right)^{2}\Rightarrow EF=\sqrt{144+108}\Rightarrow EF=\sqrt{252}=6\sqrt{7}\;\; cm

b) Stim din a) ca EB\perp AB
dar si EB\perp BC
Mai mult BF\perp AC
Dar si EF\perp AC
EB, BF, EF\subset\left(EAC\right)
construim perpendiculara din B pe EF, adica BT\perp EF
Deci obtine cu Reciproca celor trei perpendiculare ca BT\perp (EAC), deoarece EF\subset(EAC)

Deci d(B, (EAC))=BT

Acum sa calculam BT, stim ca triunghiul EBF, dreptunghic in B, deci aplicam Teorema inaltimii, adica:

BT=\frac{EB\cdot BF}{EF}=\frac{12\cdot 6\sqrt{3}}{6\sqrt{7}}=\frac{12\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{12\sqrt{21}}{7}\;\; cm

cum calculam distanta de la un punct la un plan

c) Ca sa calculam masura unghiului dintre o dreapta si un plan calculam mai intai proiectia dreptei AD pe planul (BCE), astfel avem

pr_{(BCE)}A=B

Dar calculam si pr_{(BCE)}D=D

Si obtinem pr_{(BCE)}AD=BD

Astfel obtinem m\left(\widehat{AD,(BCE)}\right)=m\left(\widehat{AD, BD}\right)=m\left(\widehat{ADB}\right)

Stim ca BCDE este patrat deci BD=l\sqrt{2}=12\sqrt{2} si AB=12\sqrt{3}

Deci in triunghiul ABD, dreptunghic in  B aplicam Teorema lui Pitagora si obtinem: AD^{2}=AB^{2}+BD^{2}\Rightarrow AD^{2}=\left(12\sqrt{3}\right)^{2}+\left(12\sqrt{2}\right)^{2}\Rightarrow AD=\sqrt{144\cdot 3+144\cdot 2}\Rightarrow AD=\sqrt{144\left(3+2\right)}=12\sqrt{5}

Acum daca aplicam in triunghiul ADB dreptunghic in B \sin \widehat{ADB}=\frac{AB}{AD}=\frac{12\sqrt{3}}{12\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{15}}{5}

masura unghiului dintre o dreapta si un plan

Linia mijlocie intr-un trapez

Dupa ce am invatat Linia mijlocie intr-un triunghi, prezentam notiunea de linia mijlocie intr-un trapez.

Aceasta notiune ne ajuta sa calculam mai usor si aria unui trapez. Astfel mai intai definim notiunea de linie mijlocie intr-un trapez.

Definitie: Segmentul care uneste mijloacele a doua laturi neparalele ale unui trapez se numeste linia mijlocie intr-un trapez.

cum arata linia mijlocie intr-un trapez

Stim ca ABCD trapez, cu AB||CD M\in(AD), astfel incat [AM]\equiv[MD si N\in (BC) astfel incat [BN]\equiv[NC], astfel obtinem ca MN este linia mijlocie in trapezul ABCD.
Foarte importanta este teorema liniei mijlocii, teorema care ne ajuta in rezolvarea problemelor, astfel avem ca:

Teorema. Linia mijlocie intr-un trapez este paralela cu bazele si are lungimea egala cu semisuma lungimilor bazelor.
Astfel in cazul trapezului de mai sus MN||AB||CD, dar si MN=\frac{AB+CD}{2}=\frac{B+b}{2}
Astfel obtinem si aria unui trapez ca fiind:

Aria unui trapez este egala cu produsul dintre linia mijlocie a trapezului si inaltimea trapezului.
Dar importanta este si urmatoarea teorema:
Teorema. Segmentul determinat de mijloacele diagonalelor unui trapez este egala cu semidiferenta lungimii bazelor.
cum calculam mijloacele diagonalelor unui trapez

PQ=\frac{AB-CD}{2}=\frac{B-b}{2}

Aplicatii:

1. Fie ABCD un trapez (AB||CD) cu AB= 12 cm, CD=8 cm si punctele M, N\in (AD), astfel incat [AN]\equiv[NM]\equiv[MD]. Punctele prin M si N la AB intersecteaza pe BC in P si Q. Determinati valoarea sumei MP+NQ.

Mai intai in ipoteza avem:
Ipoteza:
ABCD un trapez (AB||CD)
AB= 12 cm, CD=8 cm
M, N\in (AD)
[AN]\equiv[NM]\equiv[MD]

Concluzie
MP+NQ

Demonstratie
cum rezolvam problemele cu linia mijlocie intr-un trapez
Observam ca DC||MP||NQ||AB si astfel obtinem ca NQCD este trapez si M\in (ND) astfel incat [DM]\equiv[MN] si DC||MP||NQ, deci obtinem si ca P\in (CQ), astfel incat [CP]\equiv[PQ], astfel obtinem ca ‘MP linie mijlocie in trapezul NQCD si obtienm cu teorema de mai sus ca
MP=\frac{DC+NQ}{2}\Rightarrow 2\cdot MP=DC+NQ (1)

Dar stim si ca AB||MP, deci ABPM trapez si mai mult N\in (AM), astfel incat [AN]\equiv[NM] si Q\in(PB) si MP||NQ||AB deci obtinem ca NQ linie mijlocie in trapezul ABPM si cu teorema liniei mijlocii obtinem NQ=\frac{AB+MP}{2}\Rightarrow 2\cdot NQ=AB+MP(2)

Din (1) si (2), avem relatiile:
2MP=DC+NQ\Rightarrow 2MP=8+NQ
Dar si 2NQ=AB+MP\Rightarrow 2NQ=12+MP
Adunand cele doua relatii obtinem: 2MP+2NQ=8+NQ+12+MP\Rightarrow 2MP+2NQ-MP-NQ=20\Rightarrow MP+NQ=20\;\; cm

2. In paralelogramul ABCD, punctele E si F sunt mijloacele laturilor [BC] si [AD]. Daca AC\cap BD=\left\{O\right\} si AE\cap BD=\left\{G\right\}, atunci:
a) aratati ca patrulaterul AECF este paralelogram

b) calculati valoarea rapoartelor \frac{GB}{GD} si \frac{OG}{OD}

Ipoteza
ABCD paralelogram
E\in [BC] astfel incat [BE]\equiv[EC] si
F\in [AD] astfel incat [AF]\equiv[FD]
AC\cap BD=\left\{O\right\} si AE\cap BD=\left\{G\right\}
Concluzie
AECF paralelogram

Demonstratie:
cum aratam ca un patrulater este paralelogram
Stim in ipoteza ca E este mijlocul lui BC si F mijlocul lui AD, dar mai intai stim ca ABCD este paralelogram. deci laturile opuse sunt congruente doua cate doua, deci [AD]\equiv[BC], deci obtinem si ca [AF]\equiv[CE]
Deci doua laturi opuse sunt congruente.
Acum sa aratam si celelate doua sunt congruente:
\Delta CDF si \Delta ABE
Stim ca [AB]\equiv[CD](din ipoteza laturile opuse in paralelogramul ABCD sunt congruente)
\widehat{CDF}\equiv\widehat{ABE} (unghiurile opuse intr-un paralelogram sunt congruente)
[DF]\equiv[BE] (deoarece [AD]\equiv[BC], obtinem si ca [AF]\equiv[DF] si [BE]\equiv[EC], mijloacele laturilor)
si obtinem cu cazul L.U.L ca \Delta ABE\equiv\Delta CDF, de unde obtinem si ca [AE]\equiv[CF] deci AECF patrulater convex cu laturile opuse congruente doua cate doua, deci AECF paralelogram.

Asadar este foarte important sa cunoastem notiunea de linie mijlocie intr-un trapez, dar si proprietatile trapezului.

Compararea puterilor Reguli de comparare a puterilor

Dupa ce am invatat sa folosim regulile de calcul cu puteri, adica sa rezolvam exercitii in care apar puteri, acum o sa invatam sa comparam puterile.
Compararea puterilor nu este dificila doar ca trebuie sa tinem cont de anumite reguli.

Daca avem doua puteri a^{m} si b^{n} folosim urmatoarele reguli sa le comparam:
– daca m<n, atunci a^{m}<a^{n}
Astfel regula este: dintre doua puteri care au aceeasi baza, este mai mica cea care are exponentul mai mic.

Exemplu: 2^{17} si 2^{31}
In cazul exemplului e mai sus observam ca avem aceeasi baza, deci comparam exponentii si observam ca 17<31, deci obtinem ca 2^{17}<2^{31}.
Regula: Cand avem aceesi baza comparam exponetii.

– daca a<b, atunci a^{m}<b^{m}

Regula in cuvinte putem sa spunem ca este: dintre doua puteri care au acelasi exponent, mai mica este cea care are baza mai mica.

Exemplu: 2^{38} si 3^{38}

Observam ca in cazul exemplului de mai sus avem acelasi exponent, deci comparam bazele, stim ca 2<3, adica obtinem ca 2^{38}<3^{38} Regula: Cand avem aceeasi exeponetii comparam bazele. – daca in cazul in care avem sa comparam doua puteri care nu au nici aceiasi baza nici acelasi exponent, daca este posibil, fie aducem puterile la acelasi exponent si suntem in cazul celei de-a doua regula, fie aducem puterile la aceiasi baza si comparam exponentii.

Exemplu: 10^{43} si 100^{19}

Observam ca in cazul exemplului de mai sus nu avem nici aceeiasi baza nici acelasi exeponent, deci trebuie sa aducem cele doua numere fie la aceeasi baza fie la acelasi exponent. Astfel stim ca 100=10^{2} Deci cel de-al doilea numr devine: 100=\left(10^{2}\right)^{19}=10^{2\cdot 19}=10^{38} Observatii ca am adus cele doua numere la aceeasi baza.  Cum  avem aceeasi baza comparam exponetii 43>38 si astfel obtinem 10^{43}>10^{38}

Aplicatii:

1. Ordonati descrescator numerele: 3^{40}; 2^{60}; 25^{10}; 7^{20}
Ca sa ordonam crescator numerele, luam fiecare numar in parte si incercam sa il aducem fie la aceeasi baza, fie la acelasi exponent 3^{40}=\left(3^{2}\right)^{20}=9^{20}

Urmatorul numar incercam sa im aducem la acelasi exponet ca si primul si obtinem 2^{60}=2^{3\cdot 20}=\left(2^{3}\right)^{20}=8^{20}

In cazul de mai sus folosim regula de calcul a^{m\cdot n}=\left(a{m}\right)^{n}
La fel si cu urmatorul numar: 25^{10}\left(5^{2}\right)^{10}=5^{2\cdot 10}=5^{20}

Iar ultimul numar are deja exponentul 20, astfel am obtinut numerele 9^{20}; 8^{20}; 5^{20}; 7^{20}
Astfel in mod descrescator obtinem sirul 9^{20}; 8^{20}; 7^{20}; 5^{20}

Adica 3^{40}; 2^{60}; 7^{20}; 25^{10}

Pozitia relativa a punctelor si a dreptelor

Dupa ce am invatat notiunea de punct, dreapta si plan invatam care este pozitia relativa a punctelor si a dreptelor.

Astfel doua puncte A si B pot fi diferite si notam A\neq B sau indentice si notam A=B

Dar acum sa discutam despre pozitia relativa a unui punct fata de o dreapta

Astfel un  punct poate sa apartina unei drepte sau nu.

care este pozitia unui punct fata de o dreapta

Un punct poate sa apartina unei drepte d si scriem A\in d si un punct poate sa nu apartina unei drepte g in acest caz scriem B\notin g

Oricare ar fi doua puncte distincte exista o singura dreapta care le contine sau prin doua puncte distincte trece o singura dreapta si numai una.

Observam ca cele doua puncte sunt A si B, atunci unica dreapta care contine cele doua puncte se numeste dreapta determinata de punctele A si B.

Trei sau mai multe puncte care apartin aceleiasi drepte se numesc puncte coliniare. Sau punctele situate pe aceiasi dreapta se numesc puncte coliniare.

 

cand punctele sunt coliniare

 

Punctele A, B, C sunt coliniare si punctele B, C, d sunt necoliniare.

Dar si punctele A, B, C, D nu sunt coliniare, adica sunt cominiare.

Pozitia relativa a doua drepte:

Doua drepte pot fi:

– coplanare (sunt situate in acelasi plan, exista un plan care sa le contina pe amandoua)

– necoplanare (nu sunt situate in acelasi plan)

Dreptele coplanare pot fi:

– paralele (nu au nici un punct in comun)

– concurente (au un singur punct in comun)

– confundate (au toate punctele in comun)

 

care este pozitia relativa a doua drepte

Asadar este foarte important sa cunoastem notiunea de dreapta, punct, plan, dar si pozitia relativa a punctelor si a dreptelor (adica pozitia relativa a unui punct fata de o dreapta, dar si pozitia relativa a doua drepte)

 

Pozitiile relative a doua plane

Dupa ce am invatat pozitia relativa a unei drepte fata de un plan, iata ca vine vremea sa discutam despre Pozitiile relative a doua plane

Doua plane pot avea una din urmatoarele pozitii:

paralele, daca nu au niciun punct in comun

cand doua plane sunt paralele

si scriem \alpha||\beta

secante, daca au o dreapta in comun

 

plane secante

 

si scriem \alpha\cap\beta=d

 

confundate, daca au trei puncte necoliniare in comun

cand doua plane sunt confundate

Si scriem \alpha=\beta, adica planul \beta se confunda in planul \alpha

Exista si anumite teoreme pe care le folosim pentru a demonstra ca doua plane sunt paralele.

Teorema. Daca un plan contine doua drepte concurente paralele cu un alt plan, atunci cele doua plane sunt paralele.

Astfel consideram planul \alpha cu a,b\subset\alpha, astfel incat a\cap b=\left\{O\right\}

Dar stim si ca a\cap b||\beta\Rightarrow \alpha||\beta

conditia ca doua plane sa fie paralele

Teorema. Daca doua plane sunt paralele, atunci orice dreapta dintr-un plan este paralela cu celalalt plan.

Tranzitivitatea relatiei de paralelism

Doua plane paralele cu un al treilea plan sunt paralele intre ele.

Daca un plan \alpha este paralel cu un plan \beta, dar daca planul \beta este paralel cu un plan \gamma, atunci \alpha||\gamma

Adica scriem \alpha||\beta

\beta||\gamma\Rightarrow \alpha||\gamma

cand trei plane sa fie paralele

Aplicatii:

1. Consideram cubul ABCDA’B’C’D’.

Stabiliti pozitia relativa a planelor:

a) (A’B’C’) si (ABC)

b) (ABC) si (BCB’)

c) (ABC) si (ADC)

Demonstratie:

a) pozitia relativa a doua plane

Observam ca A’B’||AB, A'B'\subset\left(ABC\right) (1)

Dar si B’C’||BC BC\subset\left(ABC\right)\Rightarrow B'C'||(ABC) (2)

Din (1) si (2) obtinem ca (A'B'C')||(ABC)

Observam ca cele doua plane nu au nici un punct in comun.

b) (ABC) si (BCB’)

cand doua plane sunt secante

Observam ca in cazul celor doua plane avem un punct in comun, adica punctul B, deci au o dreapta in comun (ABC)\cap(BCB')=BC

c) (ABC) si (ADC)

cand doua plane sunt confundate

Observam ca in cazul celor doua plane se confunda si scriem (ABC)=(ADC)

Asadar este foarte important sa cunoastem pozitiile relative a celor doua plane.

Exercitii rezolvate cu operatii cu numere reale

Test

Operatii cu numere reale

1. Scrieti sub forma de fractie zecimala numarul \frac{17}{12}.

2. Demonstrati ca numarul a=\left(\sqrt{8}+5-\frac{4}{\sqrt{2}}\right)\cdot\sqrt{3\frac{6}{25}} este patrat perfect.

3. Calculati :

a) \left(-\frac{5}{2}\right)^{-1}-2^{-1}\cdot\frac{1}{5}+\frac{0,2}{\sqrt{2}}\cdot\sqrt{8}

b) \left(\frac{8}{\sqrt{3}}+\frac{7}{\sqrt{2}}\right)\cdot\sqrt{6}-\sqrt{24}\cdot\left(\frac{6}{\sqrt{2}}+\frac{4}{\sqrt{3}}\right)

4. Fie numerele:

a=\sqrt{3+2\sqrt{2}} si b=\sqrt{3-2\sqrt{2}}

a) Aratati ca a\cdot b=1

b) Aratati ca a^{2}-2ab+b^{2}=4

c) Diferenta \frac{1}{a}-\frac{1}{b} este numar natural.

5) Determinati multimea

A=\left\{n\in Z|\frac{\sqrt{7+4\sqrt{3}}-\sqrt{5-2\sqrt{6}}+\sqrt{11-6\sqrt{2}}}{3n+1}\in Z\right\}

6) Daca E\left(x,y\right)=6x+3y+1.

Calculati:

E\left(a, b\right), unde: a=\frac{3}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}-\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)+2^{-1}-3^{-2}\cdot\left(-0,(3)\right)^{-2}

si b=\left(\frac{1}{2\sqrt{5}}+\frac{2}{\sqrt{5}}+\frac{3\sqrt{5}}{5}\right)\cdot\left(-\frac{33}{2\sqrt{2}}\right)

 

Solutie:

1. Ca sa transformam fractia ordinara in fractie zecimala calculam

17:12=1,41(6)

2. Pentru a arata ca numarul a este patrat perfect efectuam calculele in exercitiu, astfel:

a=\left(\sqrt{8}+5-\frac{4}{\sqrt{2}}\right)\cdot\sqrt{3\frac{6}{25}}

Mai intai scoatem factorii de sub radicali dar si rationalizam pe unde exista aceasta posibilitate, cat si introducem intregii in fractii, astfel a devine:

a=\left(\sqrt{2^{2}\cdot 2}+5-\frac{4\cdot\sqrt{2}}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}}\right)\cdot\sqrt{\frac{2\cdot 25+6}{25}}

a=\left(2\sqrt{2}+5-\frac{4\sqrt{2}}{2}^{(2}\right)\cdot\sqrt{\frac{81}{25}}

a=\left(2\sqrt{2}+5-2\sqrt{2}\right)\cdot\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{21}}

Acum efectuam calculele in paranteza rotunda si obtinem:

a=5\cdot\frac{9}{5}

Adica a=\frac{5\cdot 9}{5}=\frac{45}{5}=9

Deci am obtinut a=9, care este patrat perfect.

3. a) La acest exercitiu trebuie sa efectuam calculele, adica:

\left(-\frac{5}{2}\right)^{-1}-2^{-1}\cdot\frac{1}{5}+\frac{0,2}{\sqrt{2}}\cdot\sqrt{8} dar mai intai ne reamintim ca a^{-1}=\frac{1}{a}, dar si a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}

Astfel obtinem -\frac{1}{\frac{5}{2}}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5}+\frac{\frac{2}{10}}{\sqrt{2}}\cdot\sqrt{8}

Acum unde avem factori sub radicali, scoatem factorii de sub radicali si obtinem:

-\frac{1}{1}:\frac{5}{2}-\frac{1\cdot 1}{2\cdot 5}+\left(\frac{2}{10}:\frac{\sqrt{2}}{1}\right)\cdot\sqrt{2^{2}\cdot 2}=    -\frac{1}{1}\cdot\frac{2}{5}-\frac{1}{10}+\frac{2}{10}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot 2\sqrt{2}=-\frac{2}{5}-\frac{1}{10}+\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot 2\sqrt{2}=-\frac{2}{5}-\frac{1}{10}+\frac{1}{5\sqrt{2}}\cdot 2\sqrt{2}^{(\sqrt{2}}=    -\frac{2}{5}-\frac{1}{10}+\frac{1}{5}\cdot 2=-\frac{2}{5}-\frac{1}{10}+\frac{2}{5}=-\frac{1}{10}

b) \left(\frac{8}{\sqrt{3}}+\frac{7}{\sqrt{2}}\right)\cdot\sqrt{6}-\sqrt{24}\cdot\left(\frac{6}{\sqrt{2}}+\frac{4}{\sqrt{3}}\right)

La acest exercitiu mai intai rationalizam si astfel obtinem:

\left(\frac{8\sqrt{3}}{3}+\frac{7\sqrt{2}}{2}\right)\cdot\sqrt{6}-\sqrt{2^{2}\cdot 6}\cdot\left(\frac{6\sqrt{2}}{2}+\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)=

\left(\frac{2\cdot 8\sqrt{3}}{6}+\frac{3\cdot 7\sqrt{2}}{6}\right)\cdot\sqrt{6}-2\sqrt{6}\cdot \left(3\sqrt{2}+\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)=

\left(\frac{16\sqrt{3}}{6}+\frac{21\sqrt{2}}{6}\right)\cdot3\sqrt{2}-2\sqrt{6}\cdot\left(\frac{9\sqrt{2}}{3}+\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)=

\frac{16\sqrt{3}+21\sqrt{2}}{6}\cdot\sqrt{6}-2\sqrt{6}\cdot\frac{9\sqrt{2}+4\sqrt{3}}{3}

Acum mai efectuam produsul intre numar si fractie:

\frac{16\sqrt{3}\cdot\sqrt{6}+21\sqrt{2}\cdot\sqrt{6}}{6}-\frac{2\sqrt{6}\cdot 9\sqrt{2}-2\sqrt{6}\cdot 4\sqrt{3}}{3}=\frac{16\cdot 3\sqrt{2}+21\cdot 2\sqrt{3}}{6}-\frac{18\cdot 2\sqrt{3}-8\cdot 3\sqrt{2}}{3}=    \frac{48\sqrt{2}+42\sqrt{3}}{6}-\frac{36\sqrt{3}-24\sqrt{2}}{3}=\frac{6\left(8\sqrt{2}+7\sqrt{3}\right)}{6}-\frac{6\left(6\sqrt{3}+4\sqrt{2}\right)}{3}=8\sqrt{2}+7\sqrt{3}-2\left(6\sqrt{3}+4\sqrt{2}\right)=8\sqrt{2}+7\sqrt{3}-12\sqrt{3}-8\sqrt{2}=-5\sqrt{3}

4. Pentru a calcula produsul numerelor a si b, mai intai, avem a=\sqrt{3+2\sqrt{2}}=\sqrt{\left(1+\sqrt{2}\right)^{2}}=|1+\sqrt{2}|=1+\sqrt{2}

Fie folosim formulele radicalilor complexi, fie formulele de calcul prescurtat.

b=\sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{\left(1-\sqrt{2}\right)^{2}}=|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1 comutam termenii intre ei, deoarece radicalul obtinut este negativ.

Astfel avem a\cdot b=1

b) Stim ca a^{2}-2ab+b^{2}=\left(a-b\right)^{2}=\left[1+\sqrt{2}-\left(\sqrt{2}-1\right)\right]^{2}=\left(1+sqrt{2}-\sqrt{2}+1\right)^{2}=2^{2}=4

c) Diferenta \frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b-a}{a\cdot b}=\frac{\sqrt{2}-1-\left(1+\sqrt{2}\right)}{\left(1+\sqrt{2}\right)\cdot\left(\sqrt{2}-1\right)}=\frac{\sqrt{2}-1-1-\sqrt{2}}{1-2}=\frac{-2}{-1}=2\in N.

Valoarea absoluta a unui numar rational Ordonarea numerelor rationale

In acest articol o sa invatam despre valoarea absoluta a unui numar rational.

Majoritatea problemelor pe care le intampinam in exercitiile cu module sau valoarea absoluta sunt daca stim sau nu cum sa-l explicitam. In acest caz apare si ordonarea numerelor rationale.

Astfel trebuie sa stim ca pentru orice numar rational x, modulul sau valoarea absoluta a lui x, notat |x|, este egal cu:
x, daca x>0, adica x este pozitiv
x=0, daca x=0
-x, daca x<0, adica x este negativ

Ca sa ordonam doua numere rationale trebuie sa stim ca dintre doua numere rationale diferite, mai mare este cel care pe axa numerelor este reprezentat la dreapta celuilalt.

Dintre doua numere rationale negative, mai mare este cel care are modulul mai mic (adica cele care sunt pe axa numerelor mai aproape de o sunt mai mari, iar cele care sunt mai departe de 0 sunt mai mici).
Important in cazul modulului e sa stim anumite proprietati, deoarece ne ajuta in rezolvarea exercitiilor:

Proprietatile modulului unui numar rational sunt:
– |x|=0, daca si numai daca x=0
– $|x|\geq 0$, pentru orice x\in Q
|-x|=|x|, pentru orice x din Q]
|x\cdot y|=|x|\cdot |y|, pentru oricare x\in Q

Dar sa ne reamintim cum definim si multimea numerelor rationale:
Q=\left\{\frac{a}{b}|a, b\in Z,b\neq 0\right\}
unde cu Q stim ca am notat multimea numerelor rationale.

Dar trebuie sa stim si incluziunea N\subset Z\subset Q
Opusul unui numar rational x este numarul -x.

Exemple:
Comparati numerele:
a) \frac{3}{4} si 0,74
Ca sa comparam cele doua numere fie transformam fractia ordinara in fractie zecimala, fie transformam fractia zecimala in ordinara si astfel le comparam. Incepem prin a transforma fractia ordinara in fractie zecimala si obtinem \frac{3}{4}=3:4=0, 75
cum transformam fractiile ordinare in zecimale
Astfel acum avem de comparat fractiile zecimale
0,75 si 0,74, observam ca zecimile sunt egale, acum comparam sutimile si observam ca 5>4, deci 0,75>0,74 adica si \frac{3}{4}>0,74
Altfel putem transforma fractia zecimala in fractie ordinara, adica
0,74=\frac{74}{100}^{2}=\frac{37}{50}
Iar acum avem de comparat fractiile:
\frac{3}{4} si \frac{37}{50}
Efectuam produsul pe diagonala si obtinem:
3\cdot 50?4\cdot 37\Rightarrow 150>148
deci obtinem \frac{3}{4}>\frac{37}{50}

b) -\frac{3}{7} cu -\frac{5}{11}
La fel ca si la exemplul de mai sus efectuam produsul elementelor pe diagonala si obtinem: -3\cdot 11?7\cdot\left(-5\right)\Rightarrow -77<-35
Deoarece -35 este mult mai aproape pe axa numerelor de 0
compararea numerelor rationale
Astfel obtinem: -\frac{3}{7}>-\frac{5}{11}

Observam ca nu avem acelasi numitor, dar nici acelasi numarator, deci cea mai simpla modalitate de comparare a numerelor rationale, a fractiilor ordinare este cea prezentata mai sus.

Daca de exemplu avem acelasi numitor sau \frac{1}{2} si \frac{3}{2}

Observam ca primul numarator este mai mic decat cel de-al doilea, si astfel observam ca \frac{1}{2}<\frac{3}{2}, deoarece in primlu caz, avem o fractie subunitara iar in al doilea caz o fractie supraunitara.

c) 0,33 si 0,(3)
In cazul fractiilor zecimale de mai sus, observam ca ce-a de-a doua este o fractie zecimala periodica simpla si stim ca 0,(3)=0,3333
Deci obtinem ca 0,33<0,(3)
Deoarece in cazul primei fractii la miimi avem cifra zero, adica 0,33=0,33000
Iar in cazul celei de-a doua 0,(3)=0,333 si observam ca 3>0 de unde si rezultatul.

d) -2,0(5) si -2,05
Observam ca in cazul fractiilor de mai sus, avem doua fractii negative si in cazul primei fractii obtinem: -2,0(5)=-2,0555
Iar in cazul celei de-a doua avem -2,05=-2,0500
In cazul miililor ambelor fractii obtinem ca 5>0, dar observam ca avem fractii negative, adica numere rationale negative, deci cel mai mare este cel care se afla mai aproape de 0, astfel obtinem:
-2,0(5)<-2,05.cum comparam numerele intregi
Ca sa ne fie mai usor sa comparam numerele rationale este foarte important sa ne reamintim si compararea numerelor intregi.