Calculul unor distante si masuri de unghiuri in doua plane perpendiculare

Pana in acest moment am invatat sa calculam distanta de la un punct la o dreapta, distanta de la un punct la un plan, dar si masuri de unghiuri, masura unghiului dintre doua drepte, masura unghiului dintre o dreapta si un plan. Pe deasupra am mai invatat si masura dintre doua plane, fie in corpurile studiate pana acum fie in anumite figuri geometrice.
Astfel incepem prin a calcula distanta dintre un punct si o dreapta, dar si distanta de la un punct la un plan precum si masura unghiului dintre o dreapta si un plan, avand doua plane perpendiculare, adica un triunghi dreptunghic si un patrat.

Problema
Patratul BCDE si triunghiul dreptunghic ABC sunt situate in plane perpendiculare. In triughiul ABC m\left(\widehat{B}\right)=90^{0}, AB=12\sqrt{3}, BC=12 cm
a) Determinati d(E, AC)
b) Calculati d(B,(EAC))
c) Calculati m\left(\widehat{(AD,(BCE))}\right)

Demonstratie:
distanta de la un punct la o dreapta
Stim ca (EBC)\perp(ABC)
Adica EB\perp (ABC)
Construim BF\perp AC,unde BF\subset (ABC) si BF este inaltime in triunghiul dreptunghic ABC

Si cu Teorema celor trei perpendiculare obtinem ca EF\perp AC
Deci distanta de la d(E, AC)=EF
distanta de la un punct la o dreata
Dar mai intai aflam BF, mai intai in triunghiul dreptunghic ABC aplicam Teorema lui Pitagora:
AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}\Rightarrow AC^{2}=\left(12\sqrt{3}\right)^{2}+12^{2}\Rightarrow AC=\sqrt{12^{2}\cdot 4}=12\cdot 2=24\;\; cm

Acum, cu teorema inaltimii stim ca:
BF=\frac{AB\cdot BC}{AC}=\frac{12\sqrt{3}\cdot 12}{24}=\frac{12\sqrt{3}\cdot 1}{2}=6\sqrt{3}
Acum in triunghiul EBF dreptunghic in B aplicam Teorema lui Pitagora: EF^{2}=EB^{2}+BF^{2}\Rightarrow EF^{2}=12^{2}+\left(6\sqrt{3}\right)^{2}\Rightarrow EF=\sqrt{144+108}\Rightarrow EF=\sqrt{252}=6\sqrt{7}\;\; cm

b) Stim din a) ca EB\perp AB
dar si EB\perp BC
Mai mult BF\perp AC
Dar si EF\perp AC
EB, BF, EF\subset\left(EAC\right)
construim perpendiculara din B pe EF, adica BT\perp EF
Deci obtine cu Reciproca celor trei perpendiculare ca BT\perp (EAC), deoarece EF\subset(EAC)

Deci d(B, (EAC))=BT

Acum sa calculam BT, stim ca triunghiul EBF, dreptunghic in B, deci aplicam Teorema inaltimii, adica:

BT=\frac{EB\cdot BF}{EF}=\frac{12\cdot 6\sqrt{3}}{6\sqrt{7}}=\frac{12\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{12\sqrt{21}}{7}\;\; cm

cum calculam distanta de la un punct la un plan

c) Ca sa calculam masura unghiului dintre o dreapta si un plan calculam mai intai proiectia dreptei AD pe planul (BCE), astfel avem

pr_{(BCE)}A=B

Dar calculam si pr_{(BCE)}D=D

Si obtinem pr_{(BCE)}AD=BD

Astfel obtinem m\left(\widehat{AD,(BCE)}\right)=m\left(\widehat{AD, BD}\right)=m\left(\widehat{ADB}\right)

Stim ca BCDE este patrat deci BD=l\sqrt{2}=12\sqrt{2} si AB=12\sqrt{3}

Deci in triunghiul ABD, dreptunghic in  B aplicam Teorema lui Pitagora si obtinem: AD^{2}=AB^{2}+BD^{2}\Rightarrow AD^{2}=\left(12\sqrt{3}\right)^{2}+\left(12\sqrt{2}\right)^{2}\Rightarrow AD=\sqrt{144\cdot 3+144\cdot 2}\Rightarrow AD=\sqrt{144\left(3+2\right)}=12\sqrt{5}

Acum daca aplicam in triunghiul ADB dreptunghic in B \sin \widehat{ADB}=\frac{AB}{AD}=\frac{12\sqrt{3}}{12\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{15}}{5}

masura unghiului dintre o dreapta si un plan