Compararea puterilor

Dupa ce am invatat sa folosim regulile de calcul cu puteri, adica sa rezolvam exercitii in care apar puteri, acum o sa invatam sa comparam puterile.
Compararea puterilor nu este dificila doar ca trebuie sa tinem cont de anumite reguli.

Daca avem doua puteri $a^{m}$ si $b^{n}$ folosim urmatoarele reguli sa le comparam:
– daca $m<n$ , atunci $a^{m}<a^{n}$
Astfel regula este: dintre doua puteri care au aceeasi baza, este mai mica cea care are exponentul mai mic.

Exemplu: $2^{17}$ si $2^{31}$
In cazul exemplului e mai sus observam ca avem aceeasi baza, deci comparam exponentii si observam ca 17<31, deci obtinem ca $2^{17}<2^{31}$ .
Regula: Cand avem aceesi baza comparam exponetii.

– daca $a<b$ , atunci $a^{m}<b^{m}$

Regula in cuvinte putem sa spunem ca este: dintre doua puteri care au acelasi exponent, mai mica este cea care are baza mai mica.

Exemplu: $2^{38}$ si $3^{38}$

Observam ca in cazul exemplului de mai sus avem acelasi exponent, deci comparam bazele, stim ca 2<3, adica obtinem ca $2^{38}<3^{38}$ Regula: Cand avem aceeasi exeponetii comparam bazele. – daca in cazul in care avem sa comparam doua puteri care nu au nici aceiasi baza nici acelasi exponent, daca este posibil, fie aducem puterile la acelasi exponent si suntem in cazul celei de-a doua regula, fie aducem puterile la aceiasi baza si comparam exponentii.

Exemplu: $10^{43}$ si $100^{19}$

Observam ca in cazul exemplului de mai sus nu avem nici aceeiasi baza nici acelasi exeponent, deci trebuie sa aducem cele doua numere fie la aceeasi baza fie la acelasi exponent. Astfel stim ca $100=10^{2}$ Deci cel de-al doilea numr devine: $100=\left(10^{2}\right)^{19}=10^{2\cdot 19}=10^{38}$ Observatii ca am adus cele doua numere la aceeasi baza. Cum avem aceeasi baza comparam exponetii $43>38$ si astfel obtinem $10^{43}>10^{38}$

Aplicatii:

1. Ordonati descrescator numerele: $3^{40}; 2^{60}; 25^{10}; 7^{20}$
Ca sa ordonam crescator numerele, luam fiecare numar in parte si incercam sa il aducem fie la aceeasi baza, fie la acelasi exponent $3^{40}=\left(3^{2}\right)^{20}=9^{20}$

Urmatorul numar incercam sa im aducem la acelasi exponet ca si primul si obtinem $2^{60}=2^{3\cdot 20}=\left(2^{3}\right)^{20}=8^{20}$

In cazul de mai sus folosim regula de calcul $a^{m\cdot n}=\left(a{m}\right)^{n}$
La fel si cu urmatorul numar: $25^{10}\left(5^{2}\right)^{10}=5^{2\cdot 10}=5^{20}$

Iar ultimul numar are deja exponentul 20, astfel am obtinut numerele $9^{20}; 8^{20}; 5^{20}; 7^{20}$
Astfel in mod descrescator obtinem sirul $9^{20}; 8^{20}; 7^{20}; 5^{20}$

Adica $3^{40}; 2^{60}; 7^{20}; 25^{10}$