Cum comparam puterile

Dupa ce ati invatat notiunea de putere, reglile de calcul cu puteri, acum invatam Cum comparam puterile, putem compara puterile cand avem aceiasi baza sau cand avem acelasi exponent sau sunt diferite.
Probabil ca va ganditi de ce trebuie sa invatati aceste notiuni, o dacat pentru ca un numar inmultit de mai multe ori cu el insusi putem sa-l scrieim sub forma de putere, iar ca sa invatam sa comparam puterile este esential ca sa stim cand un numar est mai mare decat celalalt. Noi stim sa comparam doua numere naturale, dar in cazul puterilor nu stam sa ridicam numarul respectiv la puterea respectiva, astfel consideram ca avem
a,b, m, n\in N^{*} cu a\geq 2 si avem:
– Daca m5$ deci obtinem ca
2^{8}>2^{5}
b) 2^{45} si 3^{45}
c) 5^{0} si 1^{100}
Observam ca nu avem nici aceiasi baza, dar nici acelasi exponent, dar cu ajutorul observatiilor de mai sus stim ca
1^{100}=1, dar si 5^{0}=1 deci numerele sunt egale
si obtinem ca
5^{0}=1^{100}
Observam ca nu avem aceiasi baza dar avem acelasi exponent, deci mai intai comparam bazele, astfel observam ca
2<3, deci obtinem ca $latex 2^{45}<3^{45}$. Dar trebuie sa ne gandim ca pot sa apara si numere in care nu avem aceiasi baza sau acelasi exponent, in acest caz incercam sa aducem numerele respective fie la aceiasi baza fie la acelasi expoenent si astfel stim sa le comparam. Exemplu: 2) Comparati: $latex 16^{5}$ si $latex 8^{20}$ Observati ca nu avem nici aceiasi baza nici acelasi exponent, deci incervam fie sa aducem la aceiasi baza fie la acelasi exponent, astfel avem ca: $latex 16=2^{4}$ si $latex 8=2^{3}$ Si astfel obtinem aceiasi baza si comparam exponentii: Cu ajutorul regulilor de calcul cu puteri obtinem: $latex 16^{5}=\left(2^{4}\right)^{5}=2^{4\cdot 5}=2^{20}$ Dar si $latex 8^{20}=\left(2^{3}\right)^{20}=2^{3\cdot 20}=2^{60}$ Deci $latex 20<60$ si astfel obtinem ca $latex 2^{20}<2^{60}$ sau $latex 16^{15}<8^{20}$ b) $latex 11^{2}$ si $latex 2^{6}$ La fel ca si mai sus observam ca nu avem nici aceiasi baza nici acelasi exponent, deci incercam sa aducem fie la aceiasi baza fie la acelasi exponent Primul numar $latex 11^{2}$, ramane asa cum este pentru ca 11 este numar prim, nu putem sa l scriem ca putere a nici unui numar, in schimb $latex 2^{6}=2^{3\cdot 2}$, dar pe noi ne intereseaza sa-l scriem la puetera a doua deoarece astfel obtinem acelasi exoenet, astfel avem: $latex 2^{6}=\left(2^{3}\right)^{2}=8^{2}$ Si astfel am obtinut numerele $latex 11^{2}$ si $latex 8^{2}$ deci comparam bazele: 11>8, deci 11^{2}>8^{2} sau 11^{2}>2^{6}
Astfel este foarte important sa invatam cele doau reguli ca sa comparam puterile, dar si pentru numerele care nu au aceiasi putere sa stim fie sa aducem la aceiasi baza fie la acelasi exponent.