Cu ce ne ajuta congruenta triunghiurilor? Dar metoda triunghiurilor congruente?
Aceste notiuni sunt esentiale in intelegerea notiunilor ce vor urma pe tot parcursul acestor ani.
Stim inca de la unghiuri si de la dreapta ca doua segmente sunt congruente daca au aceiasi lungime dar si doua unghiuri se numesc congruente daca au aceiasi masura.
Asadar, doua triunghiuri se numesc congruente daca au laturile corespunzatoare respectiv congruente si unghiurile corespunzatoare respectiv congruente.
Sau doua triunghiuri se numesc congruente, daca prin suprapunere coincid.
Notam si citim triunghiul ABC este congruent cu triunghiul DEF.
Astfel avem daca si numai daca
dar si .
Foarte important e sa stim ca ordinea in care se scriu varfurile a doua triunghiuri este semnificativa.
Astfel nu este echivalent cu
, deoarece cele doua triunghiuri prin suprapunere nu coincid.
Metoda triunghiurilor congruente consta in folosirea cazurilor de congruenta pe care le-am invatat, adica :
Cazul L.U.L. Doua triunghiuri se numesc congruente daca au cate doua laturi respectiv congruente si unghiurile formate de aceste laturi respectiv congruente, atunci triunghiurile sunt congruente.
Cazul U.L.U. Doua triunghiuri se numesc congruente daca au cate o latura si unghiurile alaturate acesteia respectiv congruente.
Cazul L.L.L. Doua triunghiuri se numesc congruente daca au laturile respectiv congruente.
Acum prezentam anumite probleme in care aplicam ceea ce am spus mai sus.
Fie triunghiul isoscel ABC, cu si punctele
astfel incat
si
.Aratati ca
a)
b)
Mai intai scriem ipoteza si concluzia problemei, astfel :
Ipoteza.
[AM]\equiv[MN]\equiv[NB]$ si
Concluzie:
Demonstratie: Mai intai realizam figura:
Astfel conform metodei triunghiurilor congruente trebuie sa gasim doua triunghiuri care sa contina cele doua elemente ce trebuie demonstratie.
Astfel luam triunghiurile:
si
(unghi comun)
(deoarece triunghiul ABC fiind isoscel, stim ca AB=AC si punctele M si N imparte segmentul AM in trei segmente congrunete, la fel P si Q imparte segmentul AC la fel in trei segmente congruente, deci rezulta si ca
)
Dar mai obtinem si ca
Sau cu cazul L.U.L, , de unde obtinem si ca
Pentru cei ce nu intelegeti, dam anumite valori pentru segmentul AB, deci si pentru AC, astfel consideram AB=12 cm
Astfel din ipoteza stim ca , deci fiecare segment are 4 cm, iar pentru AC avem
Si observati de mai sus ca
Dar stim si ca
Dar si
De unde obtinem ca
Si unghiul A ca mai sus comun si cu cazul de congruenta L.U.L cele doua triunghiuri sunt congruente.
b)
Stim din punctul e mai sus ca:
Dar si () deoarece la fel ca mai sus segemntele AB si AC sunt impartite in trei parti egale, adica congruente). Din punctul a) stim ca
, de unde obtinem:
, de unde obtinem si ca
(deoarece stim ca
, dar si
si observam ca obtinem tot doua unghiuri congruente.
Si astfel cu cazul de congruenta L.U.L obtinem .