Aplicatii congruenta triunghiurilor

Cu ce ne ajuta congruenta triunghiurilor? Dar metoda triunghiurilor congruente?
Aceste notiuni sunt esentiale in intelegerea notiunilor ce vor urma pe tot parcursul acestor ani.
Stim inca de la unghiuri si de la dreapta ca doua segmente sunt congruente daca au aceiasi lungime dar si doua unghiuri se numesc congruente daca au aceiasi masura.
Asadar, doua triunghiuri se numesc congruente daca au laturile corespunzatoare respectiv congruente si unghiurile corespunzatoare respectiv congruente.
Sau doua triunghiuri se numesc congruente, daca prin suprapunere coincid.

Notam $\Delta ABC\equiv\Delta DEF$ si citim triunghiul ABC este congruent cu triunghiul DEF.
Astfel avem $\Delta ABC\equiv\Delta DEF$ daca si numai daca $[AB]\equiv[DE], [AC]\equiv[DF], [BC]\equiv[EF]$
dar si $\widehat{ABC}\equiv\widehat{DEF}, \widehat{BAC}\equiv\widehat{EDF}, \widehat{ACB}\equiv\widehat{DFE}$ .
Foarte important e sa stim ca ordinea in care se scriu varfurile a doua triunghiuri este semnificativa.
Astfel $\Delta ABC$ nu este echivalent cu $\Delta FDE$ , deoarece cele doua triunghiuri prin suprapunere nu coincid.

Metoda triunghiurilor congruente consta in folosirea cazurilor de congruenta pe care le-am invatat, adica :
Cazul L.U.L. Doua triunghiuri se numesc congruente daca au cate doua laturi respectiv congruente si unghiurile formate de aceste laturi respectiv congruente, atunci triunghiurile sunt congruente.
Cazul U.L.U. Doua triunghiuri se numesc congruente daca au cate o latura si unghiurile alaturate acesteia respectiv congruente.
Cazul L.L.L. Doua triunghiuri se numesc congruente daca au laturile respectiv congruente.

Acum prezentam anumite probleme in care aplicam ceea ce am spus mai sus.

Fie triunghiul isoscel ABC, cu $[AB]\equiv[AC]$ si punctele $M, N\in (AB), P,Q\in (AC)$ astfel incat $[AM]\equiv[MN]\equiv[NB]$ si $[AP]\equiv[PQ]\equiv[QC]$ .Aratati ca

a) $[NP]\equiv[QM]$

b) $\Delta BQM\equiv\Delta CNP$

Mai intai scriem ipoteza si concluzia problemei, astfel :

Ipoteza. $\Delta ABC$

$[AB]\equiv[AC]$

$M, N\in (AB), P,Q\in (AC)$

[AM]\equiv[MN]\equiv[NB]$ si $[AP]\equiv[PQ]\equiv[QC]$

Concluzie: $[NP]\equiv[QM]$

$\Delta BQM\equiv\Delta CNP$

Demonstratie: Mai intai realizam figura:

Astfel conform metodei triunghiurilor congruente trebuie sa gasim doua triunghiuri care sa contina cele doua elemente ce trebuie demonstratie.
Astfel luam triunghiurile:
$\Delta ANP$ si $\Delta AQM$
$\widehat{QAM}\equiv\widehat{NAP}$ (unghi comun)
$[AM]\equiv[AP]$ (deoarece triunghiul ABC fiind isoscel, stim ca AB=AC si punctele M si N imparte segmentul AM in trei segmente congrunete, la fel P si Q imparte segmentul AC la fel in trei segmente congruente, deci rezulta si ca $[AM]\equiv[AP]$ )
Dar mai obtinem si ca $[AQ]\equiv[AP]$
Sau cu cazul L.U.L, $\Delta ANP\equiv\Delta AQM$ , de unde obtinem si ca $[NP]\equiv[MQ]$
Pentru cei ce nu intelegeti, dam anumite valori pentru segmentul AB, deci si pentru AC, astfel consideram AB=12 cm
Astfel din ipoteza stim ca $AM=MN=NB==12:3=4$ , deci fiecare segment are 4 cm, iar pentru AC avem $AP=PQ=QC=12:4=3$
Si observati de mai sus ca $AM=AP\Rightarrow [AM]\equiv[AP]$
Dar stim si ca $AN=AM+MN=4+4=8$
Dar si $AQ=AP+PQ=4+4=8$
De unde obtinem ca $AN=AQ\Rightarrow [AN]\equiv[AQ]$
Si unghiul A ca mai sus comun si cu cazul de congruenta L.U.L cele doua triunghiuri sunt congruente.

b) $\Delta BQM\equiv\Delta CNP$
Stim din punctul e mai sus ca:
$[NP]\equiv[QM]$
Dar si $[BM]\equiv[CP]$ () deoarece la fel ca mai sus segemntele AB si AC sunt impartite in trei parti egale, adica congruente). Din punctul a) stim ca $\Delta ANP\equiv\Delta AQM$ , de unde obtinem: $\widehat{ANP}\equiv\widehat{AQM}$ , de unde obtinem si ca $\widehat{BMQ}\equiv\widehat{CPN}$ (deoarece stim ca $m\left(\widehat{BMQ}\right)=180^{0}-m\left(\widehat{AMQ}\right)$ , dar si $m\left(\widehat{CPN}\right)=180^{0}-m\left(\widehat{APN}\right)$ si observam ca obtinem tot doua unghiuri congruente.
Si astfel cu cazul de congruenta L.U.L obtinem $\Delta BQM\equiv\Delta CNP$ .