Distanta dintre doua puncte

Ce intelegem prin distanta dintre doua puncte?

Dar mai ales cum calculam distanta dintre doua puncte?

Definitie: Oricare ar fi doua puncte A, B, exista un numar notat |AB| sau mai simplu AB, numit distanta dintre A la B.

Distanta dintre doua puncte putem sa aflam cu ajutorul riglei gradate.

cum calculam distanta dintre doua puncte

Un punct M se afla intre punctele A si B, daca

– punctele A, M, B sunt coliniare

-|AB|=|AM|+|MB|

Observatii:

Lungimea unui segment [AB] este egala cu distanta dintre punctele A si B.

Distanta dintre doua pucte, distanta de la A la B este un numar pozitivAB\geq 0

Daca A=B, atunci distanta de la A la B este o, AB=0.

Pentru orice puncte din plan AB=BA

Aplicatii:

1. Fie punctele A, B, C, D apartinand unei drepte d in aceasta ordine.

a) Daca |BC|=3,2 cm; |AB|=5,5 cm si |AD|=10 cm, aflati distanta ce la C la D, adica |CD|

cum calculam  distanta dintre doua puncte

Stim ca

|AD|=10 cm

Dar mai stim si ca

|AD|=|AB|+|BC|+|CD|\Rightarrow 10=5,6+3,2+|CD|\Rightarrow 10=8,8+|CD|\Rightarrow |CD|=10-8,8\Rightarrow |CD|=1,2\;\; cm

b) Daca |BC|=\frac{1}{2}\cdot |AB|, |CD|=3\cdot |BC|, |AD|=12,3\;\; cm, calculati |BC|.

Solutie:

cum aflam lungimea unui segment

In cazul de fata stim doar distanta de la A la D, dar stim ca

|AD|=|AB|+|BC|+|CD|\Rightarrow 12,3=|AB|+|BC|+|CD|

Dar din ipoteza mai stim ca

|BC|=\frac{1}{2}\cdot |AB||\cdot 2\Rightarrow 2\cdot |BC|=|AB|

Iar daca inlocuim in relatia mai sus gasita obtinem:

12,3=2\cdot |BC|+|BC|+3\cdot|BC|\Rightarrow 12,3=6|BC||:6\Rightarrow |BC|=12,3:6\Rightarrow |BC|=2,05

Acum ca stim distanta de la B la C, putem sa aflam si distanta de la A la B, adica

|AB|=2\cdot |BC|=2\cdot 2,05=4,10=4,1

Dar putem sa aflam si CD, stim din ipoteza ca

|CD|=3\cdot |BC|=3\cdot 2,0\Rightarrow |CD|=6,15\;\; cm.

Observati ca pentru a afla distanta de la B la C, am folosit toate informatiile care ni s-au oferit in ipoteza.

2. Pe o dreapta d se considera punctele A, B, C, astfel incat |AB|=8 cm, |BC|=3 cm. Calculati distanta e la A la C.

In cazul de fata pot avea loc doua variante de dispunere a punctelor A, B, C. pe drepata d.

lungimea unor segmente

Astfel in primul caz punctele sunt situate in ordinea A, B, C

Si stim ca

|AC|=|AB|+|BC|\Rightarrow |AC|=8\;\; cm+3\;\; cm=11\;\; cm

Iar in al doi-lea caz punctele sunt situate astfel A, C, B

Si stim ca

|AB|=|AC|+|CB|\Rightarrow 8=|AC|+3\Rightarrow |AC|=8-3=5\;\; cm

Deoarece stim de la observatiile de mai sus ca |CB|=|BC|.

Asadar este foarte important sa asezam corect punctele pe dreapta dar si sa stim anumite proprietati ale distantei.