Divizor si multiplu

Presupunem ca avem doua numere naturale a si b.

Spunem ca b divide a si otam b|a, daca exista un numar natural c astfel incat a=b\cdot c sau b este divizo al lui a.

Astfel in cazul de fata p, putem sa spunem despre a ca este un multiplu al lui b, si utilizam una din notatiile:

b|a, la fel cum am spus mai sus citib, b divide a

Sau

$latex a?b$ si citim a este divizibil cu b.

Exemplu

2|6, deoarece exista un numar natural c=3, astfel incat 6=2\cdot 3

Astfel 2 este divizor al lui 6, iar 6 este multiplu al lui 6.

Daca n este un numar natural oarecare, atunci n|0, deoarece exista un numar natural 0=n\cdot c (numarul natural c este 0)

Mai stim si ca 0|0, deoarece exista un numar natural c, astfel incat 0=0\cdot c

Observatie: Daca a si b sunt doua numere naturale si b\neq 0

atunci b|a daca si numai daca $late a:b=c, c\in N$ (impartirea celor doua numere naturale este un numar natural)

Aplicatii:

1) Determinati x\in N astfel incat:

x-1\in D_{15}

Mai intai scriem divizori lui 15, astfel avem

D_{15}=\left\{1; 3; 5; 15\right\}

Pentru

x=2\Rightarrow 2-1=1\in D_{15}

Pentru

x=4\Rightarrow 4-1=3\in D_{15}

x=6\Rightarrow 6-1=5\in D_{15}

x=16\Rightarrow 16-1=15\in D_{15}

x\in\left\{2; 4; 6; 16\right\}

b) 2x+1\in D_{12}

Scriem divizorii lui 12, astfel avem:

D_{12}=\left\{1; 2; 3; 4; 6; 12\right\}

Astfel putem sa rezolvam exercitiu si in alt mod

2x+1=1\Rightarrow 2x=1-1\Rightarrow 2x=0\Rightarrow x=0

Si observam ca pentru x=0 se verifica 2\cdot 0+1\in D_{12}

2x+1=2\Rightarrow 2x=2-1\Rightarrow 2x=1\Rightarrow x=\frac{1}{2}\notin N (nu convine)

2x+1=3\Rightarrow 2x=3-1\Rightarrow 2x=2\Rightarrow x=1\in N

Pentru x=1, avem 2\cdot 1+1=2+1=3\in D_{12}

2x+1=4\Rightarrow 2x=4-1\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac{3}{2}\notin N (nu convine)

2x+1=6\Rightarrow 2x=6-1\Rightarrow 2x=5\Rightarrow x=\frac{5}{2}\notin N(nu convine)

2x+1=12\Rightarrow 2x=12-1\Rightarrow 2x=11\Rightarrow x=\frac{11}{2}\notin N(nu convine)

deci x\in\left\{0; 1\right\}

b)