Divizorii comuni a doua sau mai multe numere naturale C.m.m.d.c

Cum aflam cel mai mare divizor comun a doua sau mai multe numere naturale?
Cum stim daca doua numere sunt prime intre ele?
Sunt intrebari pe care ni le punem atunci cand auzim notiunea de divizori comuni a doua sau mai multe numere naturale, dar si cum calculam cel mai mare divizor comun a doua numere naturale
Mai mult in cadrul acestui articol o sa invatam sa gasim cand doua numere naturale sunt prime intre ele.

Astfel pentru a calcula cel mai mare divizor comun a doua sau mai multe numere naturale proceam astfel:
– descompunem numerele in produs de factori primi
– apoi ca sa aflam cel mai mare divizor comun a doua sau mai multe numere naturale luam factorii primi comuni o singura data la putera cea mai mica la care apar.
Dar exista si numere naturale al caror cel mai mare divizor comun este 1, aceste numere se numesc prime intre ele.
Cel mai mare divizor comun il prescurtam c.m.m.d.c
Iar cand calculam c.m.m.d.c a doua numere a si b il notam cu (a, b).
Exemple

1. Calculati:
a) (24; 28)
Mai intai descompunem numerele in produs de factori primi:
cum descompuenm numerele in produs de factori primi

Astfel obtine
24=2^{3}\cdot 3\cdot 1
Si
28=2^{2}\cdot 7\cdot 1
Acum ca sa calculam c.m.m.d.c luam factorii comuni o singura data la puterea cea mai mica, adica:
(24, 28)=2^{2}\cdot 1=4\cdot 1=4
b) (120; 180)
descompunerea numerelor in produs de factori primi
Astfel 120=2^{3}\cdot 3\cdot 5

Dar si 180=2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5

Iar cel mai mare divizor comun al celor doua numere este:

(120, 180)=2^{2}\cdot 3\cdot 5=4\cdot 3\cdot 5=12\cdot 5=60

c) (115, 46, 529)

La fel ca si mai sus descompunem numerele in produs de factori primi, adica:

cum descompunem numerel in produs de factori primi

Astfel avem ca

115=5\cdot 23\cdot 1

Mai avem si ca 46=2\cdot 23

dar si 529=23^{2}

Acum avem sa calculam cel mai mare divizot comun a trei numere naturale astfel obtinem:

(115, 46, 529)=23\cdot 1=23

d) (32, 63)

Mai intai descompunem numerele in produs de factori primi

cum aflam cel mai mare divizor comun a doua sau mai multe numere naturale

Astfel obtinem:

32=2^{5}\cdot 1

Si

63=3^{2}\cdot 7\cdot 1

Iar pentru a afla cel mai mare divizor comun al numerelor luam factorii comuni o singura data la puterea cea mai mica (32, 63)=1, adica numerele sunt prime, cel mai mare divizor natural a celor doua numere este 1, adica 1 este singurul numar comun la care se poate imparti fiecare numar.

Orice numar natural compus se poate descompune in produs de numere prime distince, iar scrierea numerelor compuse in produs de numere prime se numeste descompunerea in factori primi si este unica.

Ca sa stim sa descompunem numerele naturale in produs de factori primi trebuie sa stim criteriile de divizibilitate, dar si care sunt numerele prime si care sunt numerele compuse.