Dreapta perpendiculara pe un plan distanta de la un punct la un plan

Despre o dreapta perpendiculara pe o alta dreapta am mai invatat, dar  despre dreapta perpendiculara pe un plan inca nu si nici sa calculam distanta de la un punct la un plan. Dar am invatat sa calculam distanta de la un punct la o dreapta, astfel incepem prin a defini notiunile de dreapta perpendiculara pe un plan, dar si distanta de la un punct la un plan.

Definitie: O drepata d se numeste perpendiculara pe un plan \alpha daca este perpendiculara pe toate dreptele incluse in planul \alpha.

Si scriem d\perp\alpha\Leftrightarrow d\perp a, \forall a\subset\alpha

Teorema. Daca o dreapta este perpendiculara pe doua drepte concurente dintr-un plan atunci dreapta este perpendiculara pe plan, adica

dreapta perpendiculara pe un plan

 

 

 

a, b\subset\alpha

 

a\cap b=\left\{O\right\}

 

d\perp a, d\perp b\Rightarrow d\perp\alpha, c\subset \alpha\Rightarrow d\perp c

 

Acum sa vedem cum calculam distanta de la un punct la un plan.

Stim din clasele mai mici ca distanta de la un punct la o dreapta este piciorul perpendicularei din punctul dat pe dreapta.

Dar acum avem sa calculam distanta de la un punct la un plan:

Fie A un punct si \alpha un punct in sptatiu, A\notin \alpha si O piciorul perpendicularei duse din A pe planul \alpha, atunci distnata de la punctul A la planul \alpha este  lungimea segmentului AO.

Adica d\left(A, \alpha\right)=AO segmentul AO este cel mai scurt dintre toate segmentele care unesc punctul A cu planul \alpha

cum calculam distanta de la un punct la un plan

Dar daca A\in \alpha, atunci d\left(A,\alpha\right)=0

Aplicatii:

Fie ABCDA’B’C’D’ un cub cu latura de 4 m. Aflati

a) d\left(B, (A'AD)\right)

b) d\left(B,(ACC')\right)

Demonstratie:

a) Stim ca distanta de la un punct la un plan este piciorul perpendicularei din punctul dat pe plan, astfel

distanta de la un punct la un plan

BA\perp AD, cum

AD\subset \left(ADD'\right), deci obtinem ca

BA\perp\left(A'AD\right)

Astfel avem: d\left(B,(A'AD)\right)=BA=4\;\; cm

b) Acum ca sa calculam distanta de la B la planul ACC’, mai intai construim dreapta.

Observam ca BO\perp AC, dar stim ca AC\subset\left(ACC'\right), deci BO\perp\left(ACC'\right) si gasim ca distanta de la punctul b la planul ACC’ este dreapta BO, unde O este punctul de intersectie al diagonalelor.

AC\cap BD=\left\{O\right\}

problema rezolvata distanta de la un punct la un plan

 

Acum sa vedem cum aflam BO, stim ca triunghiul ABD este dreptunghic isoscel, deci avem ca AB=BC=4 cm, acum putem afla ipotenuza AC, daca aplicam teorema lui Pitagora AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}\Rightarrow AC^{2}=4^{2}+4^{2}\Rightarrow AC=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\;\; cm

Acum pentru afla BO, stim ca este si inaltime astfel in triunghiul dreptunghic ABC, aplicam Teorema inaltimii  BO=\frac{AB\cdot BC}{AC}=\frac{4\cdot 4}{4\sqrt{2}}^{(4}=\frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}\;\; cm.

Deci avem ca d\left(B,(ACC')\right)=BO=2\sqrt{2}\;\; cm.