Ecuatii echivalente cu ecuatii de forma ax+b=0

Pana in acest moment am invatat sa rezolvam ecuatii in multimea numerelor naturale, multimea numerelor rationale, multimea numerelor intregi, dar acum rezolvam ecuatiile si in multimea numerelor reale. Aceste ecuatii au o alta forma, iar noi trebuie sa le aduce la o forma apropiata de ce am invatat, adica ecuatii echivalente cu ecuatii de forma ax+b=0

Defintie: Ecuatia de forma ax+b=0, a\in R^{*}, b\in R este o ecuatie cu o necunoscuta x sau mai mult este o ecuatie de gradul intai.

– Numarul a  se numeste coeficientul necunoscutei

– numarul b se numeste termenul liber al ecuatiei

Ca sa rezolvam o ecuatie inseamna sa-i gasim si sa-i determinam multimea solutiilor.

Daca dupa ecuatie se specifica in ce multime ia x valori, atunci trebuie sa avem grija sa rezolvam ecuatia in multimea respectiva.

Definitie: Doua ecuatii se numesc echivalente daca au aceiasi multime de solutii.

Aplicatii:

1. Rezolvati in R ecuatiile:

a) -13x+4=21+4x\Rightarrow -13x-4x=21-4\Rightarrow -17x=17\Rightarrow x=-1

Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus, mai intai incercam sa o aducem la forma ax=b, observati ca am trecut termenii necunoscutii in stanga si termenii cunoscuti in dreapta, apoi am efectuat calculele si am obtinut rezultatul x=-1

Pentru a ne verifica daca am rezolvat corect ecuatia, inlocuim valoarea gasita in ecuatia intiala, astfel avem:

-13\cdot\left(-1\right)+4=21+4\cdot\left(-1\right)\Rightarrow 13+4=21-4\Rightarrow 17=17

deci se verifica, asadar solutia ecuatiei este x=-1

b) ^{3)}\frac{5x-3}{2}-^{6)}1=^{2)}\frac{4-x}{3}\Rightarrow \frac{3\cdot\left(5x-3\right)-6\cdot 1}{6}=\frac{2\left(4-x\right)}{6}

Observat ca mai intai am adus atat in membrul stang cat si in membrul drept la acelasi numitor, pentru al putea elimina si pentru a ne simplifica calculele, astfel ecuatia devine:

3\left(5x-3\right)-6=2\left(4-x\right)\Rightarrow 15x-9=8-2x\Rightarrow 15x+2x=8+9\Rightarrow 17x=17\Rightarrow x=1

deci obtinem ca solutia ecuatiei este x=1.

c) \left(\sqrt{2}x-3\right)\left(\sqrt{2}x+3\right)=2x\left(x-3\right)\Rightarrow \left(\sqrt{2}x\right)^{2}-3^{2}=2x\cdot x-2x\cdot 3\Rightarrow 2x^{2}-9=2x^{2}-6x\Rightarrow 2x^{2}-2x^{2}+6x=9\Rightarrow 6x=9\Rightarrow x=\frac{9}{6}^{(3}=\frac{3}{2}

Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus observati ca mai intai am folosit formula \left(a+b\right)\left(a-b\right)=a^{2}-b^{2}

Iar in membrul drept am inmultit elementul din fata parantezei cu fiecare termen din paranteza, apoi am trecut necunoscutele in membrul stang si termenul liber in membrul drept, am efectuat calculele si am obtinut solutia ecuatiei x=\frac{3}{2}

d) \frac{3}{x}+\frac{4}{x}=\frac{1}{3}-\frac{2}{x}\Rightarrow \frac{3+4}{x}=\frac{1}{3}-\frac{2}{x}\Rightarrow \frac{7}{x}=\frac{1}{3}-\frac{2}{x}\Rightarrow \frac{7}{x}+\frac{2}{x}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{7+2}{x}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{9}{x}=\frac{1}{3}\Rightarrow x\cdot 1=9\cdot 3\Rightarrow x=27

Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus mai intai, in membrul drept, am adunat cele doua fractii deoarece au acelasi numitor. Apoi am trecut termenul necunoscut din membrul drept in membrul stang, la fel avem acelasi numitor si am aduna numitorii, apoi am folosit Proprietatea fundamental a proportiilor si astfel am obtinut rezultatul x=27.