Ecuatii in multimea numerelor naturale

De ce sa invatam sa rezolvam ecuatiile?

Cu ce ne ajuta sa stim sa rezolvam ecuatiile?

Asta sunt intrebarile cele mai frecvente care le aud. Daca stiu sa rezolv ecuatiile cu ce ma ajuta?

Sa fac o multitudine de calcule si la sfrasit sa aflu ca x=3 sau 5 sau orice valoare.

Ecuatiile au aparut din necesitatea de a rezolva anumite probleme din activitatile oamenilor.

Asadar in unele domenii de natura stiintifica, economica, anumite aspecte sunt elucidate cu ajutorul ecuatiilor.

Dar mai intai sa vedem care este forma ecuatiei de gradul I.

Inca  din clasa a IV ati invatat sa rezolvati ecuatii in multimea numerelor naturale, ca de exemplu vi se adea o casuta + un anumit numar si egal cu alt numar, si noi trebuia sa aflam acel numar, astfel incat egalitatea sa fie adevarata.

Definitie: O egalitate de fora ax=b sau care poate fi adusa la aceasta forma se numeste ecuatie in multimea numerelor naturale, unde a, b sunt numere naturale.

Variabilele dintr-o ecuatie se numesc necunoscute.

Definitie: Valoarea atribuita necunoscutelor pentru care egalitatea este adevarata se numeste solutie a ecuatiei.

Observatie: A rezolva o ecuatie insemna a-i determina solutiile din multimea specificata.

Multimea solutiilor unei ecuatii se noteaza cu S.

O ecuatie poate sa aiba una sau mai multe solutii.

O ecuatie poate sa nu aiba solutii in multimea specificata.

Dar  o ecuatie poate sa aiba si o infinitate de solutii.

Exemple:

Rezolvati in multimea numerelor naturale ecuatiile:

a) 6x+4=6\left(x+1\right), x\in N

Incercam sa rezolvam ecuatia, astfel

6x+4=6\left(x+1\right)\Rightarrow 6x+4=6\cdot x+6\cdot 1\Rightarrow 6x+4=6x+6\Rightarrow 6x-6x=6-4\Rightarrow 0=2 ceea ce este absurd, deci ecuatia nu are solutii.

b) 3\left(3x+8\right)+3=9\left(x+3\right)\Rightarrow 3\cdot 3x+3\cdot 8+3=9\cdot x+9\cdot 3\Rightarrow 9x+24+3=9x+27\Rightarrow 9x-9x=27-27\Rightarrow 0=0

Deci ecuatia are o infinitate de solutii, deoarece orice valoare i-am atribuii lui x, ecuatia o sa se verifice.

c) 6\cdot\left(x+2\right)=588|:6\Rightarrow \left(x+2\right)=588:6\Rightarrow x+2=98\Rightarrow x=98-2\Rightarrow x=96

Deci S=\left\{96\right\}

Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus mai intai am impartit prin 6 egalitatea, apoi rezultatul obtinum a fost x+2=98 si am scazut din ambii membrii numarul natural 2 si am obtinut solutia ecuatiei x=96.

Ca sa vedem daca solutia ecuatiei este corecta inlocium solutia gasita in ecuatie si gasim

6\cdot\left(96+2\right)=6\cdot 98=588 deci de verifica si astfel am gasit ca solutia ecuatiei este x=96

d) \left(x+1\right)+\left(x+2\right)+\left(x+3\right)+...+\left(x+100\right)=99x+5728\Rightarrow    x+1+x+2+x+3+...+x+100=99x+5728\Rightarrow \left(\underbrace{x+x+x+...+x}_{de\;\; 100\;\; de \;\; ori}\right)+\left(1+2+3+...+100\right)=99x+5728\Rightarrow 100\cdot x+\frac{100\cdot\left(100+1\right)}{2}=99x+5728\Rightarrow 100x+\frac{100\cdot 101}{2}=99x+5728\Rightarrow 100x+\frac{10100}{2}=99x+5728\Rightarrow 100x-99x=5728-10100:2\Rightarrow x=5728-5050\Rightarrow x=678

Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus mai intai am grupat termenii necunoscuti, adica toti x-ii, dar si termenii liberii, observam ca in membrul stang x apare de 100 de ori, iar pentru suma 1+2+3+...+100 am aplicat formula 1+2+3+...+n\frac{n\cdot\left(n+1\right)}{2} si astfel am obtinut o ecuatie in care avem necunoscuta atat in membrul stang cat si in membrul drept, am trecut necunoscutele in partea stanga si cunoscutele in partea dreapta am efectuat calculele si am aflat solutia ecuatiei x=678. S=\left\{678\right\}

Asadar este foarte important sa stim sa rezolvam ecuatiile, deoarece acestea ajuta la rezolvarea, descoperirea anumitor lucruri importante din stiinta.