Ecuatii in multimea numerelor rationale

Poate va intrebati la ce ne ajuta rezolvarea ecuatiile?

Raspunsul il veti afla in cadrul acestui articol.

Astfel rezolvarea ecuatiilor ne ajuta in multe activitati desfasurate de oameni, de natura stiintifica, tehnica sau economica. Din acest motiv studiul ecuatiilor devine o necesitate.

Incepem prin a prezenta forma ecuatiei, astfel

Consideram numerele rationale $a, b, c\in Q_{+}$ , cu $a\neq 0$ . In care trebuie sa gasim numerele rationale x, pentru care $a\cdot x+b=c$

Uzual aceasta problema, mai scurt se poate formula astfel:

Rezolvati in $Q_{+}$ ecuatia $a\cdot x+b=c$

unde x- se numeste necunoscuta ecuatiei, iar un numar $x_{0}$ pentru care $a\cdot x_{0}+b=c$ se numeste solutie a ecuatiei.

A rezolva o ecuatie inseamna a gasii multimea solutiilor ecuatiei.

Multimea solutiilor unei ecuatii se noteaza cu S.

Cum rezolvam in multimea numerelor rationale ecuatiile

$a\cdot x+b=c$

– punem in evidenta termenul care contine necunoscuta

$a\cdot x=c-b$

– calculam diferenta c-b=d

– apoi rescriem ecuatia

$a\cdot x=d$

– punem ca evidenta factorul x

$x=d:a$

– multimea solutiilor ecuatiei este $S=\left\{\frac{d}{a}\right\}$

Exemple:

1. Rezolvati ecuatiile

$\frac{5}{2}x+3=10, 75$

b) $3\cdot x-2,7=1,11$

c) $0,5x+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$

d) $\frac{3}{7}\left(x-\frac{1}{2}\right)=\frac{15}{14}$

Solutii:

a) $\frac{5}{2}x+3=10, 75\Rightarrow \frac{5}{2}x=10,75-3\Rightarrow \frac{5}{2}x=7,75|:\frac{5}{2}\Rightarrow x=7,75\cdot\frac{2}{5}\Rightarrow x=\frac{7,75\cdot 2}{5}=\frac{15,50}{5}\Rightarrow x=\frac{15,5}{5}=3,1$

In cazul ecuatiei de mai sus mai intai am pus in evidenta termenul care contine necunoscuta (adica am efectuat operatia de scadere), am calculat diferenta si apoi am pus in evidenta factorul x. Iar multimea solutiilor ecuatiei este

$S=\left\{3,1\right\}$

b) $3\cdot x-2,7=1,11\Rightarrow 3\cdot x=1,11+2,7\Rightarrow 3\cdot x=3,81|:3\Rightarrow x=1,27$

La fel ca si la ecuatia de mai sus mai intai am pus in evidenta termenul care contine necunoscuta (in cazul acesta am efectuat operatia de adunare), am calculat adunarea si apoi am pus in evienta factorul x. Iar solutia ecuatieie este

$S=\left\{1,27\right\}$ , pitem sa transformam solutia ecuatiei si in fractie ordinara.

c) $0,5x+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\Rightarrow 0,5\cdot x=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\Rightarrow 0,5\cdot x=\frac{2}{2}\Rightarrow x=\frac{2}{2}:0,5\Rightarrow x=1:0,5\Rightarrow x=2$

Observati ca in cazul ecuatiei de mai sus avem si fractii ordinare dar si fractii zecimale, pentru inceput am pus in evidenta termenul care contine necunoscuta, adica am calculat diferenta, apoi ma pus in evidenta factorul x, prin efectuarea impartirii dintre 1 si 0,5 si astfel am obtinut solutia ecuatiei x=2, adica am impartit un numar natural la o fractie zecimala.

Dar cum efectuam aceasta impartire?

Pentru cei care nu va mai reamintiti

Observati ca in cazul impartirii, ca sa o efectuam am inmultit atat dempartitul cat si impartitorul cu o putere a lui 10, astfel incat la impartitor sa obtinem un numar natural.

Si astfel am obtinut rezultatul 2.

Sau putem sa transformam fractia zecimala in fractie ordinara, adica

$x=1:0,5\Rightarrow x=1:\frac{5}{10}\Rightarrow x=1\cdot\frac{10}{5}\Rightarrow x=\frac{10}{5}=2$

d) $\frac{3}{7}\left(x-\frac{1}{2}\right)=\frac{15}{14}$

$\Rightarrow \frac{3}{7}\cdot x-\frac{3}{7}\cdot\frac{1}{2}=\frac{15}{14}\Rightarrow \frac{3}{7}\cdot x-\frac{3}{14}=\frac{15}{14}\Rightarrow \frac{3}{7}\cdot x=\frac{15}{14}+\frac{3}{14}\Rightarrow$

$\frac{3}{7}\cdot x=\frac{15+3}{14}\Rightarrow \frac{3}{7}\cdot x=\frac{18}{14}^{(2}\Rightarrow \frac{3}{7}\cdot x=\frac{9}{7}|:\frac{3}{7}\Rightarrow x=\frac{9}{7}:\frac{3}{7}\Rightarrow$

$x=\frac{9}{7}\cdot\frac{7}{3}\Rightarrow x=\frac{3}{1}\cdot \frac{1}{1}\Rightarrow x=3$

In cazul ecuatiei de mai sus, am efectuat mai intai produsul numarului din paranteza cu fiecare termen, apoi am efectuat inmultirile. dupa care am pus in evidenta termenul care contine necunoscuta, am efectuat adunarea (observati ca aveam acelasi numitor, deci a fost simplu), am simplificat fractia obtinuta prin 2 si apoi am pus in evidenta factorul x, aica am efectuat o impartire in mwmbrul drept intre doua fractii ordinare (impartirea a doua fractii ordinare: adica prima inmultita cu inversa celei de-a doua), am efectuat simplificarile car s-au putut si am obtinut solutia ecuatiei $S=\left\{3\right\}$

Ecuatia puteam sa o rezolvam si astfel:

$latex \frac{3}{7}\left(x-\frac{1}{2}\right)=\frac{15}{14}|:\frac{3}{7}\Rightarrow \left(x-\frac{1}{2}\right)=\frac{15}{14}:\frac{3}{7}\Rightarrow x-\frac{1}{2}=\frac{15}{14}\cdot\frac{7}{3}\Rightarrow x-\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\cdot\frac{1}{1}\Rightarrow x-\frac{1}{2}=\frac{5}{2}|+\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{5}{2}+\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{6}{2}=3$

Deci in cazul acestei rezolvari, observam ca in fata paratezei avem inmutire, deci putem sa efectuam operatia de impartire intre membrul drept si membrul din fata parantezei, apoi am efectuat simplificarile si am obtinut o fractie ordinara, dupa care am pus in evidenta factorul x si am obtinut rezultatul x=3.

Asadar este foarte important sa stim sa rezolvam ecuatiile, deorece ele constitiue baza in a rezolva anumite probleme pe care le descoperim.