Factor comun

In acest articol o sa invatam sa dam factor comun dintr-o expresie.

Factorul comun intr-un exercitiu ne ajuta sa ne simplificam calculul intr-un exercitiu.

Astfel avem mai multe posibilitati:

a\cdot b+a\cdot c=a\cdot\left(b+c\right) (spunem ca am dat factor comun pe a, deoarece apare in ambii termeni)

Exemplu:

7+7\cdot 9=7\cdot\left(1+9\right)=7\cdot 10=70

Observati ca in cazul exemplului de mai sus am dat factor comun pe 7, iar primul termen din paranteza este 1, deoarece a da factor comun inseamna a inpartii, astfe 7:7=1

Putem sa dam factor comun  si cand avem scadere, astfel avem:

x\cdot y-x\cdot z=x\cdot\left(y-z\right)

Exemplu:

57\cdot 21-21\cdot 43=21\cdot\left(57-43\right)=21\cdot 14=294

 

dar putem sa avem si

a\cdot b+c\cdot a=a\left(b+c\right) (putem sa dam factor comun a, deoarecem stim ca inmultirea este comutativa)

Dar si

x\cdot y-z\cdot x=x\left(y-z\right) (la fel ca si mai sus inmultirea este comutativa, deci am putut sa dam factor comun pe x)

Factrorul comun ne ajuta sa calculam mai usor unele sume, astfel daca de exemplu avem sa calculam

3+6+9+...+360

Observati ca nu stim cun sa calculm suma de mai sus, eventual adunam termeni extremi, dar este o pierdere de timp, astfel daca in suma dam factor comun pe 3 obtinem

3+6+9+...+360=3\cdot\left(3:3+6:3+9:3+...+360:3\right)=3\cdot\left(1+2+3+...+120\right)

Si astfel observatica am obtinut o suma pe care deja stim sa o calculam cu formula

1+2+3+...+n=\left[n\cdot\left(n+1\right)\right]:2

Astfel mai intai calculam suma

1+2+3+...+120=\left[120\cdot\left(120+1\right)\right]:2=\left(120\cdot 121\right):2=14520:2=7260

Iar daca revenim la suma de mai sus obtinem

3+6+9+...+360=3\cdot\left(3:3+6:3+9:3+...+360:3\right)=3\cdot\left(1+2+3+...+120\right)=3\cdot 7260=21 780

Dar putem sa rezolvam cu ajutorul factorului comun si urmatorul tip de exercitiu:

Daca x+4y=25 si 11x+3z=19, calculati 35x+8y+9z

Ca sa calculam suma de mai sus, mai intai trebuie sa aranjem aceasta suma astfel incat sa putem sa ne folosim de cele doua relatii, astfel avem

35x+8y+9z=2x+33x+8y+9z=2x+8y+33x+9z=2\cdot\left(x+4y\right)+3\cdot\left(11x+3z\right)=    2\cdot 25+ +3\cdot 19=50+57=107

Observati ce pe 35x la-m scris ca fiind 2x+33x, deoarece trebuie sa ne uitam si sa folosim si relatiile care ne le da ipoteza, astfel prima data am dat factor comun pe 2 (intre primele doua relatii), iar apoi am dat factor comun pe 3 (intre ultimele doua numere) si astfel am putut folosii si relatiile din ipoteza.

2) Determinati numarul natural a, stiind ca u+3v=24 si au+3av=72

Solutie

Observati ca in cea de-a doua relatie putem sa dam factor comun pe a si obtinem

au+3av=72\Rightarrow a\cdot\left(u+3v\right)=72\Rightarrow a\cdot 24=72\Rightarrow a=72:24\Rightarrow a=3

La fel ca si la exercitiul de mai sus, mai intai am dat in cea de-a doua relatie factor comun numarul natural a, apoi ne-am folosit de ce avem din ipoteza si astfel am obtinut ca a=3.

Asadar, este foarte impotant sa stim sa dam factor comun, deoarece ne ajuta in rezolvarea cat ma multor exercitii, iar aceasta lectie constitue baza pentru lucrurile mai grele care urmeaza.