Formule de calcul prescurtat

Cu ajutorul acestor formule de calcul prescurtat putem sa rezolvam mult mai usor exercitiile de acest fel.
Formulele de calcul prescurtat le-am mai folosti acum a venit vremea sa le si invatam.
Astfel prima formula de calcul prescurtat pe care o invatam este
\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}
Astfel daca nu stim formula la un momentad putem sa o deducem si astfel:
\left(a+b\right)^{2}=\left(a+b\right)\cdot\left(a+b\right)=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b=a^{2}+2ab+b^{2}
Deci daca citim partea de inceput si de sfarsit obtinem:
\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}
Exemplu:
\left(3x+4\right)^{2}=\left(3x\right)^{2}+2\cdot 3x\cdot 4+4^{2}=9x^{2}+24x+16
Observati ca in cazul exemplului de mai sus a=3x si b=4
O alta formula de calcul prescurtat care este asemanatoare cu cea de sus este:
\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2\cdot a\cdot b+b^{2}
La fel ca si mai sus aceasta formula putem sa o deducem si astfel:
\left(a-b\right)^{2}=\left(a-b\right)\cdot\left(a-b\right)=a\cdot a-a\cdot b-b\cdot a-b\cdot\left(-b\right)=a^{2}-2ab+b^{2}
Exemplu:
\left(2x-7z\right)^{2}=\left(2x\right)^{2}-2\cdot 2x\cdot 7z+\left(7z\right)^{2}=4x^{2}-28xz+49z^{2}
Observati ca in cazul exemplului de mai sus
a=2x si b=7z, dar si faptul ca folosim ridicarea la putere cu exponent intreg, adica se ridica ambele numere la aceiasi putere.
O alta formula care o folosim in rezolvarea exercitiilor este:
a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\cdot\left(a+b\right)
Exemplu:
Utilizand formulele de calcul prescurtat calculati:
\left(x-2y\right)\cdot\left(x+2y\right)=x^{2}-\left(2y\right)^{2}=x^{2}-4y^{2}
In cazul formulei de mai sus a=x si b=2y
Exercitii
Calculati folosind formulele de calcul prescurtat:
\left(5\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)^{2}-5\sqrt{5}\cdot \sqrt{12}=  \left(5\sqrt{3}\right)^{2}+2\cdot 5\sqrt{3}\cdot \sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}-5\sqrt{5}\cdot 2\sqrt{3}=  25\cdot 3-10\sqrt{15}+5-10\sqrt{15}=75+5=80
Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus mai intai in paranteza am folosit prima formula de calcul prescurtat, adica
\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}, unde a=5\sqrt{3} si b=\sqrt{5}, iar dupa ce am aplicat formula de calcul prescutrat, am scos factorii de sub radiali la ultimul radical, adica \sqrt{12}=\sqrt{2^{2}\cdot 3}=2\sqrt{3}, apoi am efectuat calculele si am obtinut rezultatul 80.
b) \left(2\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)^{2}+\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}  +\left(3\sqrt{3}-5\right)\left(3\sqrt{3}+5\right)=  \left(2\sqrt{5}\right)^{2}-2\cdot 2\sqrt{5}\cdot \sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}+2^{2}+2\cdot 2\cdot\sqrt{10}+\left(\sqrt{10}\right)^{2}+\left(3\sqrt{3}\right)^{2}-5^{2}=  2^{2}\left(\sqrt{5}\right)^{2}-4\sqrt{10}+2+4+4\sqrt{10}+10+3^{2}\cdot\left(\sqrt{3}\right)^{2}-25=  4\cdot 5-4\sqrt{10}+6+4\sqrt{10}+10+9\cdot 3-25=  20+6+10+27-25=38
In cazul exercitului rezolvat mai sus, observati ca am folosit toate cele trei formule de calcul prescurtat, mai intai am folosit formula
\left(a-b\right)^{2}, unde a=2\sqrt{5} si b=\sqrt{2}, apoi am folosit formula de calcul
\left(a+b\right)^{2}, unde in cazul de fata a=2 si b=\sqrt{10}, iar la ultima paranteza am folosit formula \left(a-b\right)\cdot\left(a+b\right) unde a=3\sqrt{3} si b=5, iar dupa ce am aplicat formulele de calcul prescutat, am efectuat calculele si astfel am obtinut rezultatul 38.
c) \left(3\sqrt{2}-2\sqrt{3}\right)\cdot\left(\sqrt{12}+\sqrt{18}\right)-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}-\sqrt{48}
Mai intai scoate factorii de sub radicali si obtinem:
\left(3\sqrt{2}-2\sqrt{3}\right)\cdot\left(2\sqrt{3}+3\sqrt{2}\right)-\left[2^{2}-2\cdot 2\cdot\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}\right]-4\sqrt{3}
Observati ca la paranteza a doua am aplicat si formula \left(a-b\right)^{2} pastrand parateza pentru a tine cont de semnul din fata parantezei, astfel obtinem:
Acum stim ca adunarea numerelor reale este comutativa astfel obtinem:
\left(3\sqrt{2}-2\sqrt{3}\right)\cdot\left(3\sqrt{2}+2\sqrt{3}\right)-\left(4-4\sqrt{3}+3\right)-4\sqrt{3}
Acum observati cl la primul calcul folosim formula \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}, unde a=3\sqrt{2} si b=2\sqrt{3}
astfel obtinem:
\left(3\sqrt{2}\right)^{2}-\left(2\sqrt{3}\right)^{2}-7+4\sqrt{3}-4\sqrt{3}=18-12-7=6-7=-1