Formule de calcul prescurtat Exercitii rezolvate

Cu ajutorul acestor formule de calcul prescurtat putem sa rezolvam mult mai usor exercitiile de acest fel.
Formulele de calcul prescurtat le-am mai folosti acum a venit vremea sa le si invatam.
Astfel prima formula de calcul prescurtat pe care o invatam este
$\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}$
Astfel daca nu stim formula la un momentad putem sa o deducem si astfel:
$\left(a+b\right)^{2}=\left(a+b\right)\cdot\left(a+b\right)=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b=a^{2}+2ab+b^{2}$
Deci daca citim partea de inceput si de sfarsit obtinem:
$\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}$
Exemplu:
$\left(3x+4\right)^{2}=\left(3x\right)^{2}+2\cdot 3x\cdot 4+4^{2}=9x^{2}+24x+16$
Observati ca in cazul exemplului de mai sus $a=3x$ si $b=4$
O alta formula de calcul prescurtat care este asemanatoare cu cea de sus este:
$\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2\cdot a\cdot b+b^{2}$
La fel ca si mai sus aceasta formula putem sa o deducem si astfel:
$\left(a-b\right)^{2}=\left(a-b\right)\cdot\left(a-b\right)=a\cdot a-a\cdot b-b\cdot a-b\cdot\left(-b\right)=a^{2}-2ab+b^{2}$
Exemplu:
$\left(2x-7z\right)^{2}=\left(2x\right)^{2}-2\cdot 2x\cdot 7z+\left(7z\right)^{2}=4x^{2}-28xz+49z^{2}$
Observati ca in cazul exemplului de mai sus
a=2x si b=7z, dar si faptul ca folosim ridicarea la putere cu exponent intreg, adica se ridica ambele numere la aceiasi putere.
O alta formula care o folosim in rezolvarea exercitiilor este:
$a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\cdot\left(a+b\right)$
Exemplu:
Utilizand formulele de calcul prescurtat calculati:
$\left(x-2y\right)\cdot\left(x+2y\right)=x^{2}-\left(2y\right)^{2}=x^{2}-4y^{2}$
In cazul formulei de mai sus $a=x$ si $b=2y$
Exercitii
Calculati folosind formulele de calcul prescurtat:
$\left(5\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)^{2}-5\sqrt{5}\cdot \sqrt{12}= \left(5\sqrt{3}\right)^{2}+2\cdot 5\sqrt{3}\cdot \sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}-5\sqrt{5}\cdot 2\sqrt{3}= 25\cdot 3-10\sqrt{15}+5-10\sqrt{15}=75+5=80$
Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus mai intai in paranteza am folosit prima formula de calcul prescurtat, adica
$\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}$ , unde $a=5\sqrt{3}$ si $b=\sqrt{5}$ , iar dupa ce am aplicat formula de calcul prescutrat, am scos factorii de sub radiali la ultimul radical, adica $\sqrt{12}=\sqrt{2^{2}\cdot 3}=2\sqrt{3}$ , apoi am efectuat calculele si am obtinut rezultatul 80.
b) $\left(2\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)^{2}+\left(2+\sqrt{10}\right)^{2} +\left(3\sqrt{3}-5\right)\left(3\sqrt{3}+5\right)= \left(2\sqrt{5}\right)^{2}-2\cdot 2\sqrt{5}\cdot \sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}+2^{2}+2\cdot 2\cdot\sqrt{10}+\left(\sqrt{10}\right)^{2}+\left(3\sqrt{3}\right)^{2}-5^{2}= 2^{2}\left(\sqrt{5}\right)^{2}-4\sqrt{10}+2+4+4\sqrt{10}+10+3^{2}\cdot\left(\sqrt{3}\right)^{2}-25= 4\cdot 5-4\sqrt{10}+6+4\sqrt{10}+10+9\cdot 3-25= 20+6+10+27-25=38$
In cazul exercitului rezolvat mai sus, observati ca am folosit toate cele trei formule de calcul prescurtat, mai intai am folosit formula
$\left(a-b\right)^{2}$ , unde $a=2\sqrt{5}$ si $b=\sqrt{2}$ , apoi am folosit formula de calcul
$\left(a+b\right)^{2}$ , unde in cazul de fata $a=2$ si $b=\sqrt{10}$ , iar la ultima paranteza am folosit formula $\left(a-b\right)\cdot\left(a+b\right)$ unde $a=3\sqrt{3}$ si $b=5$ , iar dupa ce am aplicat formulele de calcul prescutat, am efectuat calculele si astfel am obtinut rezultatul 38.
c) $\left(3\sqrt{2}-2\sqrt{3}\right)\cdot\left(\sqrt{12}+\sqrt{18}\right)-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}-\sqrt{48}$
Mai intai scoate factorii de sub radicali si obtinem:
$\left(3\sqrt{2}-2\sqrt{3}\right)\cdot\left(2\sqrt{3}+3\sqrt{2}\right)-\left[2^{2}-2\cdot 2\cdot\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}\right]-4\sqrt{3}$
Observati ca la paranteza a doua am aplicat si formula $\left(a-b\right)^{2}$ pastrand parateza pentru a tine cont de semnul din fata parantezei, astfel obtinem:
Acum stim ca adunarea numerelor reale este comutativa astfel obtinem:
$\left(3\sqrt{2}-2\sqrt{3}\right)\cdot\left(3\sqrt{2}+2\sqrt{3}\right)-\left(4-4\sqrt{3}+3\right)-4\sqrt{3}$
Acum observati cl la primul calcul folosim formula $\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}$ , unde $a=3\sqrt{2}$ si $b=2\sqrt{3}$
astfel obtinem:
$\left(3\sqrt{2}\right)^{2}-\left(2\sqrt{3}\right)^{2}-7+4\sqrt{3}-4\sqrt{3}=18-12-7=6-7=-1$