Functia f(x)=ax+b

Functia f\left(x\right)=ax+b joaca un rol important pentru examenul pe care trebui sa-l sustineti in acest an.

Asadar incempem prin a definii notiune de functie de forma f\left(x\right)=ax+b

Definitie: Functia de tipul f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=ax+b, unde a, b\in R se numeste functia liniara.

Daca a\neq 0, functia f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=ax+b se numeste functia de gradul I.

Reprezentarea geometrica a graficului unei functii liniare este o dreapta.

1. Astfel exista o discutie in functie de coeficienti functiei de gradul I, adica:

– daca a\neq 0 si b=0, functia devine f\left(x\right)=ax+0=ax, iar graficul functie are ca reprezentare geometrica drepta care contine originea sistemului de coordonate.

– daca a=b=0, functia devine f\left(x\right)=0 este functia constanta nula, a carei reprezentare geometrica este axa Ox.

– daca a=0 si b\neq 0, functia devine f\left(x\right)=b se numeste functia constanta nenula a carei reprezentare geometrica este o dreapta paralela cu axa Ox.

Intersectia graficului unei functii de gradul I cu axele de coordonate.

Fie functia f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=ax+b, a\in R^{*}, b\in R

Atunci

G_{f}\cap Ox este f\left(x\right)=0\Rightarrow ax+b=0\Rightarrow ax=-b\Rightarrow x=\frac{-b}{a}

Si are punctul de coordonate:

G_{f}\cap Ox=A\left(\frac{-b}{a}, 0\right)

Dar si

G_{f}\cap Oy, calculam f\left(0\right)=a\cdot 0+b=b

Deci

G_{f}\cap Oy=B\left(0,b\right)

Doua functii f.g:R\rightarrow R, f\left(x\right)=ax+b, g\left(x\right)=cx+d se numesc efale daca si numai daca au acelasi domeniu de definitie, acelasi codomeniu si a=c si b=d.

Aplicatii:

1. Se considera functia f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=-x+3

a) Reprezentati grafic functia f

b) Calculati aria triunghiului cuprins intre graficul functiei si axele de coordonate

c) Calculati perimetrul triunghiului cuprins intre graficul functiei si axele de coordonate

Solutie:

Mai intai calculam graficul functie intersectat cu axele de coordonate, adica

G_{f}\cap Ox\Rightarrow f\left(x\right)=0

\Rightarrow -x+3=0\Rightarrow

-x=-3\Rightarrow x=3

Deci G_{f}\cap OX=A\left(3, 0\right)

Acum calculam si G_{f}\cap Oy\Rightarrow f\left(0\right)=-0+3=3

Deci

G_{f}\cap Oy=B\left(0,3\right)

Acum trasam graficul functiei.

cum trasam graficul functiei de gradul I

b) Acum sa calculam Aria triunghiului determinat de graficul functie si axele de coordonate:

Observam ca triunghiul AOB este dreptunghic in O, deci putem aplica formula ariei pentru triunghiul dreptunghic, adica

A_{Delta ABC}=\frac{c_{1}\cdot c{2}}{2}=\frac{AO\cdot BO}{2}=\frac{3\cdot 3}{2}=\frac{9}{2}=4,5\;\; cm^{2}

c) Acum ca sa aflam perimetrul triunghiului ABC, aplicam Teorema lui Pitagora in triunghiul dreptunghic AOB

AB^{2}=AO^{2}+BO^{2}\Rightarrow AB^{2}=3^{2}+3^{2}\Rightarrow AB^{2}=9+9\Rightarrow AB=\sqrt{18}=3\sqrt{2}

Acum calculam

P_{\Delta ABC}=    AO+OB+BA=3+3+3\sqrt{2}=6+3\sqrt{2}=3\left(2+\sqrt{2}\right)

Asadar, trebuie sa invatam functiile deoarece au multe utilizari si aplicatii in practica pentru rezolvarea unor probleme in special de fizica, iar cea ce am invatat noi pana acum constitue doar un inceput.