Inecuatii rezolvate Cum rezolvam inecuatiile

Cu rezolvarea ecuatiilor ne-am obisnuit, acum trebuie sa invatam sa rezolvam inecuatiile. Am invatat sa rezolvam inecuatii si in clasa a VI, dar doar cu numere intregi, acum rezolvam inecuatiile cand coeficientii apartin numerelor reale si necunoscuta apartine numerelor intregi.

Rezolvarea inecuatiilor este aparent usoara, deoarece se aseamana cu rezolvarea ecuatiilor, diferenta constand in faptul ca acum avem o inegalitate si trebuie sa gasim o multime de solutii.

Astfel inecuatiile sunt inegalitati in care apar unul sau mai multi termeni necunoscuti, noi acum o sa rezolvam inecuatii in care apare doar un temrn necunoscut.

Dar inecuatiile au mai multe forme, astfel o inecuatie are una din formele:
$ax+b<0$ su $ax+b>0$ sau $ax+b\leq 0$ sau $ax+b\geq 0$
unde $a,b\in R$ se numeste inecuatia de gradul I cu o necunoscuta.
Numerele reale a si b se numesc coeficienti (a este coeficientul necunoscutei si b este coeficientul termenului liber), iar x se numeste necunoscuta.
A rezolva o inecuatie inseamna a-i determina toate solutiile sale. Iar aceste solutii formeaza multimea solutiilor inecuatiei date si se noteaza de regula cu S.

Un numar real se numeste solutie a ecuatie, daca inlocuind necunoscuta cu numarul gasit in inecuatia data aceasta se verifica.
Dar acum sa vedem cum rezolvam inecuatiile:

Astfel daca consideram inecuatia
$ax+b<0, a\neq 0, x\in Z$
– mai intai scadem termenul liber b din ambii membri ai inecuatiei si obtinem
$ax+b<0|-b\Rightarrow ax+b-b<-b\Rightarrow ax<-b$
Si astfel observam ca obtinem $ax<-b$
In cazul de fata trebuie sa tinem cont de urmatoarea regula:
Daca $a>0$ , inmultim ambii membri cu $\frac{1}{a}$ si obtinem $x<\frac{-b}{a}$ , iar solutia inecuatiei este $\left\{x\in Z|x<\frac{-b}{a}\right\}$
Daca $a<0$ inmultim ambii membri cu $\frac{-1}{a}$ si obtinem $x>\frac{b}{a}$ , iar solutia inecuatiei este $\left\{x\in Z|x>\frac{b}{a}\right\}$

Exemple:

Rezolvati urmatoarele ecuatii in multimea $Z-N$
a) $4x+12>0$
b) $-\sqrt{3}x-\sqrt{108}\leq 0$
Solutie
a) $4x+12>0 |-12\Rightarrow 4x+12-12>-12\Rightarrow 4x>-12|:4\Rightarrow x>-3$
Observati ca aceasta inecuatie este asemanatoare cu forma generala a inecuatiei ax+b<0. Mai intai am scazut termenul liber 12, iar apoi am inmultit, ambii membri cu $\frac{1}{4}$ pentru a obtine solutia inecuatiei
$\left\{x\in Z|x>-3\right\}$ , dar stim ca $x\in Z-N$ () din ipoteza.

Deci trebuie sa gasim solutiile inecuatiei, doar numerele intregi fara numerele naturale, din multime stim ca solutia inecuatiei este:
$\left\{-2; -1; 0; 1....\right\}$ , dar cu conditia de mai sus obtinem $x\in\left\{-2; -1\right\}$

b) $-\sqrt{3}x-\sqrt{108}\leq 0 |+\sqrt{108}\Rightarrow -\sqrt{3}x-\sqrt{108}+\sqrt{108}\leq \sqrt{108}\Rightarrow -\sqrt{3}x\leq\sqrt{108}\Rightarrow -\sqrt{3}x\leq \sqrt{2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 3}\Rightarrow -\sqrt{3}x\leq 3\cdot 2\sqrt{3}\Rightarrow -\sqrt{3}x\leq 6\sqrt{3}|\cdot\left(-1\right)\Rightarrow \sqrt{3}x\geq -6\sqrt{3}|\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow x\geq -6$

Observati ca in cazul inecuatiei de mai sus, mai intai am eliminat termenul liber $\sqrt{108}$ din membrul stang, adica am adunat in ambii membri acest termen (in cazul de fata observati ca am adunat si nu am scazut), apoi am scos factorii de sub radicali si am obtinut o inegalitate.

In membrul stang coeficientul este mai mic ca 0, deci am inmultit inegalitatea cu (-1) si am schimbat semnul si sensul inegalitatii, iar apoi am inmultit cu $\frac{1}{\sqrt{3}}$ si astfel am obtinut solutia inecuatiei
$\left\{x\in Z|x\geq-6\right\}$ , dar cum $x\in Z-N$ , obtinem
$x\in\left\{-6; -5; -4; -3; -2; -1\right\}$
Asadar, important cand rezolvam inecuatiile este sa tinem cont de regulile prezentate mai sus.