Cum rezolvam inecuatii in Q

Stiti de la numere naurale ca am invatat sa rezolvam inecuatiile, acum o sa invatam sa rezolvam incecutii in Q.

Diferenta consta doar in faptul ca acum avem numere rationale pozitive.

Prezentam mai intai definitia inecuatiilor in Q.

Definitie: O inegalitate de forma $ax<b$ sau $ax\leq b$ sau $ax>b$ sau $ax\geq b$ se numeste inecuatia cu necunoscuta x.

Exemple de inecuatii:

$4x+3\geq 3x-1$

Definitie: Valoarea atribuita necunoscutei pentru care inegalitatea este aevarata se numeste solutie a inecuatiei.

Observatii:

Solutia inecuatiei se noteaza cu S.

O inecuatie poate avea una sau mai multe solutii.

Exista inecuatii care nu au solutii.

Dar exista si inecuatii care au o infinitate de solutii.

In cazul in care o inecuatie are specificata multimea in care se lucreaza, atunci solutiile inecuatiei sunt doar din acea multime.

Exemple:

1. Rezolvati in $N^{*}$ inecuatiile:

a) $1,8x-0,6\geq 4,2\Rightarrow 1,8x\geq 4,2+0,6\Rightarrow 1,8x\geq 4,8|:1,8\Rightarrow x\geq 4,8:1,8\Rightarrow x\geq 2,(6)$

Dar 2,(6) este o fractie zecimala periodica simpla, noi trebiue sa aflam solutiile inecuatiei in $N^{*}$ , asadar solutia inecuatiei

$x\in\left\{3; 4; 5;...\right\}$

Observati ca rezolvarea inecuatiilor este asemanatoare cu rezolvarea ecuatiilor diferenta consta in gasirea multimilor solutiilor.

b) $108-5,69\cdot x>94,63\Rightarrow 108-94,63>5,69\cdot x$

$\Rightarrow 108,00-94,63>5,69\cdot x\Rightarrow 13,37>5,69\cdot x\Rightarrow 13,37:5,69>x\Rightarrow 2,349>x$

Deci $x<2,349$

Si solutia inecuatiei in Q este: $\left\{ 0;...; 1; ...; 2,348\right\}$

Dar noi trebuie sa gasim solutia inecuatiei in $N^{*}$ , adica $x\in\left\{1,2\right\}$

2. Deterinati multimea:

$A=\left\{x\in N|9,2\leq 5x+2,3<22,8\right\}$

Solutie:

Ca sa aflam elementele multimii mai intai rezolvam:

$9,2\leq 5x+2,3<22,8$

Exista douam modalitati ca sa rezolvam inegalitatea de mai sus, noi le prezentam pe ambele iar voi o alegeti pe care vi se pare mai usoara:

$9,2\leq 5x+2,3<22,8|-2,3\Rightarrow 9,2-2,3\leq 5x+2,3-2,3<22,8-2,3\Rightarrow 6,9\leq 5x<20,5|:5\Rightarrow 6,9:5\leq 5x:5<20,5:5\Rightarrow 1,38\leq x<4,1$

Deci x se afla intre numerele3 rationale pozitive 1, 38 si 4,1

Dar in multimea A trebuie sa gasim elementele naturale, adica $x\in\left\{2; 3; 4\right\}$

Cea de-a doua metoda, consideram mai intai inecuatia

$9,2\leq 5x+2,3\Rightarrow 9,2-2,3\leq 5x\Rightarrow 6,9\leq 5x\Rightarrow 6,9:5\leq x\Rightarrow 1,38\leq x$

Deci $x\geq 1,38$

Deci solutia inecuatiei in $Q_{+}$ este $x\in\left\{1,38; 1,39....\right\}$

Dar pe noi ne intereseaza multimea numerelor naturale, conditie de la multimea A, asadar:

$x\in\left\{2; 3; 4;....\right\}$

Dar mai avem sa rezolvam si inecuatia:

$5x+2,3<22,8\Rightarrow 5x<22,8-2,3\Rightarrow 5x<20,5\Rightarrow x<20,5:5\Rightarrow x<4,1$

Deci solutia inecuatiei in multimea numerelor naturale este

$x\in\left\{0; 1; 2; 3; 4\right\}$

Dar la solutiile celor doua inecuatii luam doar elementele comune, adica calculam intersectia celor doua multimi gasite, pentru a gasi multimea A, adica

$\left\{2; 3; 4;....\right\}\cap\left\{0; 1; 2; 3; 4\right\}=\left\{2; 3; 4\right\}$

Deci obtinem acelasi rezultat dar metoda a doua consta in mai mult calcul.