Inmultirea numerelor rationale pozitive

Cum inmultim doua numere rationale dar si cum impartim doua numere rationale o sa invatam in cadrul acestui articol.

De inmultit am mai inmultit doua numere rationale in clasa a v-a dar doar cand aveam fractii zecimale, acum o sa invatam sa inmultim doua fractii ordinare.

Astfel daca avem fractiile:

\frac{a}{b} si \frac{c}{d} cu a, b, c, d\in Z, b\neq 0, d\neq 0, atunci inmultirea celor doua fractii se efectueaza astfel:

\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{\cdot c}{b\cdot a} (adica inmultim numarator cu numartoar si numitorul cu numitorul).

Inmultirea numerelor rationale are anumite proprietati care ne ajuta in rezolvatea exercitiilor:

– este comutativa: a\cdot b=b\cdot a, unde a si b sunt numere rationale

– este asociativa:a\cdot\left(b\cdot c\right)=\left(a\cdot b\right)\cdot c

– 1 este elementul neutru
– inmultirea este distributiva fata de adunare

a\cdot\left(b+c\right)=a\cdot b+a\cdot c
– orice numar artional a\neq 0 are un invers, egal cu \frac{1}{a}, notat a^{-1}, adica a^{-1}=\frac{1}{a}

Observatie. In cazul in care avem doua fractii zecimale le inmultim asa cum am invatat in clasa a v a, dar in cazul in care avem de inmultit o fractie ordinara cu o fractie zecimala, fie transformam fractia ordinara in fractie zecimala si inmultim ca mai sus, fie transformam fractia zecimala in fractie ordinara.

Daca avem de impartit doua fractii periodice, atunci transformam fractiile periodice in fractii ordinare.

Exercitii:

1. Calculati:

a) \left(\frac{4}{-9}\right)\cdot\left(\frac{-12}{8}\right)

In cazul de fata cum avem operatie de inmultire mai intai ne uitam daca nu putem sa simplificam fractiile pentru a ne simplifica calculele:

Astfel daca simplificam a doua fractiei prin 4 obtinem

\left(\frac{4}{-9}\right)\cdot\left(\frac{-12}{8}^{(4}\right)=\left(\frac{4}{-9}\right)\cdot\left(\frac{-3}{2}\right)

Dar daca mai simplificam si pe diagonala prin -3 obtinem

\left(\frac{4}{-9}\right)\cdot\left(\frac{-3}{2}\right)=\left(\frac{4}{3}\right)\cdot\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{4\cdot 1}{3\cdot 2}=\frac{4}{6}^{(2}=\frac{2}{3}

b) (-4,2)\cdot 0,45=0,45\cdot\left(-4,2\right)=

In cazul inmultirii acestor doua numere rationale inmultim fractiile zecimale dupa cum am invatat, dar mai intai stabilim semnul produsului adica – si efectuam inmultirea:

cum inmultim doua fractii zecimale
c) 0,(4)\cdot 7,(3)=\frac{4}{9}\cdot \frac{73-7}{9}=\frac{4}{9}\cdot\frac{66}{9}^{(3}=\frac{4}{9}\cdot\frac{22}{3}=\frac{4\cdot 22}{9\cdot 3}=\frac{88}{27}

In cazul inmutirii numerelor rationale de mai sus, mai intai am transformat fractiile periodice simple in fractii ordinare, apoi am simplificat, dupa care am efectuat inmultirea fractiilor ordinare.

Observatie in cazul in care avem sa inmultim un numar natural cu un numar rational, de exemplu fractie inmultim numarul natural cu numaratorul, adica
fie n un numar natural si fi \frac{a}{b} fractia, atunci produsul dintre numarul natural n si fractia de mai sus este:

n\cdot \frac{a}{b}=\frac{n\cdot a}{b}
Exemplu: 2\cdot\frac{5}{7}=\frac{2\cdot 5}{7}=\frac{10}{7}
Asadar ca sa inmutim corect numerele rationale trebuie sa invatam regulile prezentate mai sus.