Intervale de numere reale

Inca din clasele mici am invatat sa  rezolvam inecuatii in multimea numerelor fie naturale, fie intregi, fie reale, iar solutiile acestora erau scrise sub forma unei multimi. Astfel cu ajutorul acestui articol o sa invatam sa scriem solutiile inecuatiilor sub forma de intervale. Dar si cu ajutorul intervalelor putem sa comparam doua numere reale.

Incepem prin a defini Intervale de numere reale:

Fie a si b doua numere reale, cu a\leq b

Definitie: Prin intervalul inchis [a,b] intelegem multimea

[a,b]=\left\{x\in R|a\leq x\leq b\right\}

Daca a si b sunt abscisele punctelor A si B, atunci intervalul inchis [a, b], corespunde pe axa multimea punctelor segmentului [AB] si x este abscisa punctului M.

x\in\left[a, b\right]\Leftrightarrow M\in [AB]

cum arata un interval inchis

Numerele a si b se numesc capetele intervalului sau extremintatile intervalului [a, b].

Definitie: Prin intervalul inchis [a,b] intelegem multimea

(a,b)=\left\{x\in R|a< x< b\right\}

Daca a si b sunt abscisele punctelor A si B, atunci intervalul deschis (a, b), corespunde pe axa multimea punctelor segmentului (AB) si x este abscisa punctului M.

x\in\left(a, b\right)\Leftrightarrow M\in (AB)

Observatie intervalul deschis nu-si contine capetele, la fel cum avem cand rezolvam inecuatiile si obtineam de exemplu:

x<3, x\in N, deci solutiile inecuatiei erau \left\{0, 1, 2\right\}

cum arata un interval deschis

Dar mai exista si intervale deschise la un capat si ichise la altul, astfel

cum reprezentam intervalele marginite?Fie a<b. Definim urmatoarele intervale:

(a,b]=\left\{x\in R|a<x\leq b\right\}(interval deschis la stanga inchis la dreapta)

[a,b)=\left\{x\in R|a\leq x<b\right\} (interval inchis la stanga si deschis la dreapta)

 

Dar si intervale nemarginite la un capat, astfel avem

Fie a\in R

[a,+\infty)=\left\{x\in R|a\leq x\right\} (interval  inchis la  stanga si nemarginit la dreapta)

(a,+\infty)=\left\{x\in R|a<x\right\} (interval deschis la stanga si nemarginit la dreapta)

(-\infty,a]=\left\{x\in R|x\leq a\right\}(interval nemarginit la stanga si inchis la dreapta)

(-\infty,a)=\left\{x\in R|x<a\right\}(interval nemarginit la stanga si deschis la dreapta)

cum reprezentam intervalele inmarginite

Exercitii:

1) Scrieti ca intervale multimile:

a) A=\left\{x\in R| |x+3|<2\right\}

b) B\left\{x\in R| |\frac{x-5}{2}| \leq 1\right\}

Solutie

a) Ca sa scriem multimile de mai sus sub forma de intervale, mai intai trebuie sa gasim solutia inecuatiei de mai sus, astfel calculam

|x+3|<2

Ca sa rezolvam aceasta inecuatie cel ami simplu procedam astfel:

Stim ca solutia inecuatiei se afla in intervalul (-2, 2), astfel obtinem:

-2<x+3>2|-3\Rightarrow -2-3<x+3-3<2-3\Rightarrow -5<x<-1

Dupa ce am scris solutia inecuatiei in intervalul (-2,2), trebuie sa obtinem la termenul din mijolc doar x, astfel am scazut 3 din fiecare parte a inegalitatii.

Si astfel am obtinut un interval deschis la ambele capete si stim ca

x\in (-5; -1)

Deci am scris multimea solutiei ecuatiei sub forma de interval

b) Observam ca acum avem si numitorul astfel avem ca

|\frac{2x-1}{9}|\leq 1

Astfel la fel ca si mai sus stim ca

-1\leq \frac{2x-1}{9}\leq 1|\cdot 9\Rightarrow -1\cdot 9\leq \frac{2x-1}{9}\cdot 9\leq 1\cdot 9\Rightarrow -9\leq 2x+1\leq 9

Observati ca in cazul acestui exercitiu avem si numitorul 9, deci pentru inceput am eliminat numitorul, acum la fel ca si mai sus scadem 1 de la toata inegalitatea, astfel obtinem:

-9-1\leq 2x+1-1\leq 9-1\Rightarrow -10\leq 2x\leq 8|:2\Rightarrow -5\leq x\leq 4

si astfel am obtinut o inegalitate care seamana cu un interval care la-m scris mai sus, astfel am obtinut intervalul inchis

x\in [-5; 4].

Asadar, este foarte important sa cunoastem definitia pentru fiecare din intervalele de numere reale ca sa putem sa scriem o anumita multime sub forma de interval sau sa rezolvam anumite inegalitati, dar o sa vedeti in viitor ca intervalele joaca un rol important, deoarece ele constitue o conditie esentiala in rezolvarea anumitor exercitii.