Cum calculam linia mijlocie intr-un trapez

Dupa ce am invatat Linia mijlocie intr-un triunghi, prezentam notiunea de linia mijlocie intr-un trapez.

Aceasta notiune ne ajuta sa calculam mai usor si aria unui trapez. Astfel mai intai definim notiunea de linie mijlocie intr-un trapez.

Definitie: Segmentul care uneste mijloacele a doua laturi neparalele ale unui trapez se numeste linia mijlocie intr-un trapez.

Stim ca ABCD trapez, cu AB||CD $M\in(AD)$ , astfel incat $[AM]\equiv[MD$ si $N\in (BC)$ astfel incat $[BN]\equiv[NC]$ , astfel obtinem ca MN este linia mijlocie in trapezul ABCD.
Foarte importanta este teorema liniei mijlocii, teorema care ne ajuta in rezolvarea problemelor, astfel avem ca:

Teorema. Linia mijlocie intr-un trapez este paralela cu bazele si are lungimea egala cu semisuma lungimilor bazelor.
Astfel in cazul trapezului de mai sus $MN||AB||CD$ , dar si $MN=\frac{AB+CD}{2}=\frac{B+b}{2}$
Astfel obtinem si aria unui trapez ca fiind:

Aria unui trapez este egala cu produsul dintre linia mijlocie a trapezului si inaltimea trapezului.
Dar importanta este si urmatoarea teorema:
Teorema. Segmentul determinat de mijloacele diagonalelor unui trapez este egala cu semidiferenta lungimii bazelor.

$PQ=\frac{AB-CD}{2}=\frac{B-b}{2}$

Aplicatii:

1. Fie ABCD un trapez (AB||CD) cu AB= 12 cm, CD=8 cm si punctele $M, N\in (AD)$ , astfel incat $[AN]\equiv[NM]\equiv[MD]$ . Punctele prin M si N la AB intersecteaza pe BC in P si Q. Determinati valoarea sumei MP+NQ.

Mai intai in ipoteza avem:
Ipoteza:
ABCD un trapez (AB||CD)
AB= 12 cm, CD=8 cm
$M, N\in (AD)$
$[AN]\equiv[NM]\equiv[MD]$

Concluzie
MP+NQ

Demonstratie

Observam ca DC||MP||NQ||AB si astfel obtinem ca NQCD este trapez si $M\in (ND)$ astfel incat $[DM]\equiv[MN]$ si DC||MP||NQ, deci obtinem si ca $P\in (CQ)$ , astfel incat $[CP]\equiv[PQ]$ , astfel obtinem ca ‘MP linie mijlocie in trapezul NQCD si obtienm cu teorema de mai sus ca
$MP=\frac{DC+NQ}{2}\Rightarrow 2\cdot MP=DC+NQ$ (1)

Dar stim si ca $AB||MP$ , deci $ABPM$ trapez si mai mult $N\in (AM)$ , astfel incat $[AN]\equiv[NM]$ si $Q\in(PB)$ si $MP||NQ||AB$ deci obtinem ca NQ linie mijlocie in trapezul ABPM si cu teorema liniei mijlocii obtinem $NQ=\frac{AB+MP}{2}\Rightarrow 2\cdot NQ=AB+MP$ (2)

Din (1) si (2), avem relatiile:
$2MP=DC+NQ\Rightarrow 2MP=8+NQ$
Dar si $2NQ=AB+MP\Rightarrow 2NQ=12+MP$
Adunand cele doua relatii obtinem: $2MP+2NQ=8+NQ+12+MP\Rightarrow 2MP+2NQ-MP-NQ=20\Rightarrow MP+NQ=20\;\; cm$

2. In paralelogramul ABCD, punctele E si F sunt mijloacele laturilor [BC] si [AD]. Daca $AC\cap BD=\left\{O\right\}$ si $AE\cap BD=\left\{G\right\}$ , atunci:
a) aratati ca patrulaterul AECF este paralelogram

b) calculati valoarea rapoartelor $\frac{GB}{GD}$ si $\frac{OG}{OD}$

Ipoteza
ABCD paralelogram
$E\in [BC]$ astfel incat $[BE]\equiv[EC]$ si
$F\in [AD]$ astfel incat $[AF]\equiv[FD]$
$AC\cap BD=\left\{O\right\}$ si $AE\cap BD=\left\{G\right\}$
Concluzie
AECF paralelogram

Demonstratie:

Stim in ipoteza ca E este mijlocul lui BC si F mijlocul lui AD, dar mai intai stim ca ABCD este paralelogram. deci laturile opuse sunt congruente doua cate doua, deci $[AD]\equiv[BC]$ , deci obtinem si ca $[AF]\equiv[CE]$
Deci doua laturi opuse sunt congruente.
Acum sa aratam si celelate doua sunt congruente:
$\Delta CDF$ si $\Delta ABE$
Stim ca $[AB]\equiv[CD]$ (din ipoteza laturile opuse in paralelogramul ABCD sunt congruente)
$\widehat{CDF}\equiv\widehat{ABE}$ (unghiurile opuse intr-un paralelogram sunt congruente)
$[DF]\equiv[BE]$ (deoarece $[AD]\equiv[BC]$ , obtinem si ca $[AF]\equiv[DF]$ si $[BE]\equiv[EC]$ , mijloacele laturilor)
si obtinem cu cazul L.U.L ca $\Delta ABE\equiv\Delta CDF$ , de unde obtinem si ca $[AE]\equiv[CF]$ deci AECF patrulater convex cu laturile opuse congruente doua cate doua, deci AECF paralelogram.

Asadar este foarte important sa cunoastem notiunea de linie mijlocie intr-un trapez, dar si proprietatile trapezului.