Linia mijlocie intr-un trapez

Dupa ce am invatat Linia mijlocie intr-un triunghi, prezentam notiunea de linia mijlocie intr-un trapez.

Aceasta notiune ne ajuta sa calculam mai usor si aria unui trapez. Astfel mai intai definim notiunea de linie mijlocie intr-un trapez.

Definitie: Segmentul care uneste mijloacele a doua laturi neparalele ale unui trapez se numeste linia mijlocie intr-un trapez.

cum arata linia mijlocie intr-un trapez

Stim ca ABCD trapez, cu AB||CD M\in(AD), astfel incat [AM]\equiv[MD si N\in (BC) astfel incat [BN]\equiv[NC], astfel obtinem ca MN este linia mijlocie in trapezul ABCD.
Foarte importanta este teorema liniei mijlocii, teorema care ne ajuta in rezolvarea problemelor, astfel avem ca:

Teorema. Linia mijlocie intr-un trapez este paralela cu bazele si are lungimea egala cu semisuma lungimilor bazelor.
Astfel in cazul trapezului de mai sus MN||AB||CD, dar si MN=\frac{AB+CD}{2}=\frac{B+b}{2}
Astfel obtinem si aria unui trapez ca fiind:

Aria unui trapez este egala cu produsul dintre linia mijlocie a trapezului si inaltimea trapezului.
Dar importanta este si urmatoarea teorema:
Teorema. Segmentul determinat de mijloacele diagonalelor unui trapez este egala cu semidiferenta lungimii bazelor.
cum calculam mijloacele diagonalelor unui trapez

PQ=\frac{AB-CD}{2}=\frac{B-b}{2}

Aplicatii:

1. Fie ABCD un trapez (AB||CD) cu AB= 12 cm, CD=8 cm si punctele M, N\in (AD), astfel incat [AN]\equiv[NM]\equiv[MD]. Punctele prin M si N la AB intersecteaza pe BC in P si Q. Determinati valoarea sumei MP+NQ.

Mai intai in ipoteza avem:
Ipoteza:
ABCD un trapez (AB||CD)
AB= 12 cm, CD=8 cm
M, N\in (AD)
[AN]\equiv[NM]\equiv[MD]

Concluzie
MP+NQ

Demonstratie
cum rezolvam problemele cu linia mijlocie intr-un trapez
Observam ca DC||MP||NQ||AB si astfel obtinem ca NQCD este trapez si M\in (ND) astfel incat [DM]\equiv[MN] si DC||MP||NQ, deci obtinem si ca P\in (CQ), astfel incat [CP]\equiv[PQ], astfel obtinem ca ‘MP linie mijlocie in trapezul NQCD si obtienm cu teorema de mai sus ca
MP=\frac{DC+NQ}{2}\Rightarrow 2\cdot MP=DC+NQ (1)

Dar stim si ca AB||MP, deci ABPM trapez si mai mult N\in (AM), astfel incat [AN]\equiv[NM] si Q\in(PB) si MP||NQ||AB deci obtinem ca NQ linie mijlocie in trapezul ABPM si cu teorema liniei mijlocii obtinem NQ=\frac{AB+MP}{2}\Rightarrow 2\cdot NQ=AB+MP(2)

Din (1) si (2), avem relatiile:
2MP=DC+NQ\Rightarrow 2MP=8+NQ
Dar si 2NQ=AB+MP\Rightarrow 2NQ=12+MP
Adunand cele doua relatii obtinem: 2MP+2NQ=8+NQ+12+MP\Rightarrow 2MP+2NQ-MP-NQ=20\Rightarrow MP+NQ=20\;\; cm

2. In paralelogramul ABCD, punctele E si F sunt mijloacele laturilor [BC] si [AD]. Daca AC\cap BD=\left\{O\right\} si AE\cap BD=\left\{G\right\}, atunci:
a) aratati ca patrulaterul AECF este paralelogram

b) calculati valoarea rapoartelor \frac{GB}{GD} si \frac{OG}{OD}

Ipoteza
ABCD paralelogram
E\in [BC] astfel incat [BE]\equiv[EC] si
F\in [AD] astfel incat [AF]\equiv[FD]
AC\cap BD=\left\{O\right\} si AE\cap BD=\left\{G\right\}
Concluzie
AECF paralelogram

Demonstratie:
cum aratam ca un patrulater este paralelogram
Stim in ipoteza ca E este mijlocul lui BC si F mijlocul lui AD, dar mai intai stim ca ABCD este paralelogram. deci laturile opuse sunt congruente doua cate doua, deci [AD]\equiv[BC], deci obtinem si ca [AF]\equiv[CE]
Deci doua laturi opuse sunt congruente.
Acum sa aratam si celelate doua sunt congruente:
\Delta CDF si \Delta ABE
Stim ca [AB]\equiv[CD](din ipoteza laturile opuse in paralelogramul ABCD sunt congruente)
\widehat{CDF}\equiv\widehat{ABE} (unghiurile opuse intr-un paralelogram sunt congruente)
[DF]\equiv[BE] (deoarece [AD]\equiv[BC], obtinem si ca [AF]\equiv[DF] si [BE]\equiv[EC], mijloacele laturilor)
si obtinem cu cazul L.U.L ca \Delta ABE\equiv\Delta CDF, de unde obtinem si ca [AE]\equiv[CF] deci AECF patrulater convex cu laturile opuse congruente doua cate doua, deci AECF paralelogram.

Asadar este foarte important sa cunoastem notiunea de linie mijlocie intr-un trapez, dar si proprietatile trapezului.