Dupa ce am invatat Linia mijlocie intr-un triunghi, prezentam notiunea de linia mijlocie intr-un trapez.
Aceasta notiune ne ajuta sa calculam mai usor si aria unui trapez. Astfel mai intai definim notiunea de linie mijlocie intr-un trapez.
Definitie: Segmentul care uneste mijloacele a doua laturi neparalele ale unui trapez se numeste linia mijlocie intr-un trapez.
Stim ca ABCD trapez, cu AB||CD , astfel incat
si
astfel incat
, astfel obtinem ca MN este linia mijlocie in trapezul ABCD.
Foarte importanta este teorema liniei mijlocii, teorema care ne ajuta in rezolvarea problemelor, astfel avem ca:
Teorema. Linia mijlocie intr-un trapez este paralela cu bazele si are lungimea egala cu semisuma lungimilor bazelor.
Astfel in cazul trapezului de mai sus , dar si
Astfel obtinem si aria unui trapez ca fiind:
Aria unui trapez este egala cu produsul dintre linia mijlocie a trapezului si inaltimea trapezului.
Dar importanta este si urmatoarea teorema:
Teorema. Segmentul determinat de mijloacele diagonalelor unui trapez este egala cu semidiferenta lungimii bazelor.
Aplicatii:
1. Fie ABCD un trapez (AB||CD) cu AB= 12 cm, CD=8 cm si punctele , astfel incat
. Punctele prin M si N la AB intersecteaza pe BC in P si Q. Determinati valoarea sumei MP+NQ.
Mai intai in ipoteza avem:
Ipoteza:
ABCD un trapez (AB||CD)
AB= 12 cm, CD=8 cm
Concluzie
MP+NQ
Demonstratie
Observam ca DC||MP||NQ||AB si astfel obtinem ca NQCD este trapez si astfel incat
si DC||MP||NQ, deci obtinem si ca
, astfel incat
, astfel obtinem ca ‘MP linie mijlocie in trapezul NQCD si obtienm cu teorema de mai sus ca
(1)
Dar stim si ca , deci
trapez si mai mult
, astfel incat
si
si
deci obtinem ca NQ linie mijlocie in trapezul ABPM si cu teorema liniei mijlocii obtinem
(2)
Din (1) si (2), avem relatiile:
Dar si
Adunand cele doua relatii obtinem:
2. In paralelogramul ABCD, punctele E si F sunt mijloacele laturilor [BC] si [AD]. Daca si
, atunci:
a) aratati ca patrulaterul AECF este paralelogram
b) calculati valoarea rapoartelor si
Ipoteza
ABCD paralelogram
astfel incat
si
astfel incat
si
Concluzie
AECF paralelogram
Demonstratie:
Stim in ipoteza ca E este mijlocul lui BC si F mijlocul lui AD, dar mai intai stim ca ABCD este paralelogram. deci laturile opuse sunt congruente doua cate doua, deci , deci obtinem si ca
Deci doua laturi opuse sunt congruente.
Acum sa aratam si celelate doua sunt congruente:
si
Stim ca (din ipoteza laturile opuse in paralelogramul ABCD sunt congruente)
(unghiurile opuse intr-un paralelogram sunt congruente)
(deoarece
, obtinem si ca
si
, mijloacele laturilor)
si obtinem cu cazul L.U.L ca , de unde obtinem si ca
deci AECF patrulater convex cu laturile opuse congruente doua cate doua, deci AECF paralelogram.
Asadar este foarte important sa cunoastem notiunea de linie mijlocie intr-un trapez, dar si proprietatile trapezului.