Multimea numerelor rationale Reprezentarea pe axa a numerelor rationale

Definitie: Un numar rational se poate exprima printr-un cat neefectuat, a:b, fie printr-o fractie ordinara, \frac{a}{b}, fie printr-o fractie zecimala finita sau periodica (catul efectuat al numerelor intregi a si b, $b\neq 0$)

Dupa cum bine stim multimea numerelor rationale se noteaza cu Q, astfel definim:

Q=\left\{\frac{a}{b}| a,b\in Z, b\neq 0\right\}

Multimea numerelor rationale pozitive o notam cu Q_{+} si o definim:

Q_{+}=\left\{\frac{a}{b}| a, b\in N, b\neq 0 \right\}

Dar si

Multimea numerelor rationale negative o notam cu Q_{-} si o definim ca fiind:

Q_{-}=\left\{\frac{a}{b}| a,b\in Z_{-}\right\}

Daca a\in Z, atunci \frac{a}{1}=a. Deci avem ca a\in Q si atunci Z\subset Q.

deoarece stim ca

N\subset Z, iar acum am invatat ca Z\subset Q obtinem incluziunea N\subset Z\subset Q.

Definitie: Numim axa numerelor o dreapta pe care fixam un punct, numit origine, o unitate de masura si un sens pozitiv.

Fiecarui numar rational ii corespunde un unic numar pe axa numerelor.

Cum transformam o fractiile zecimale in fractii ordinare?

Incepem cu transformarea fractiilor zecimale in fractii ordinare

O fractie zecimala simpla este de forma

\bar{a_{0}, a_{1}a_{2}...a_{n}}=\frac{a_{0}a_{1}...a_{n}}{10^{n}}

Exemplu:

0,24=\frac{24}{100}^{(4}=\frac{6}{25}

Observati ca la numarator am scris numarul asa cum a fost (0 nu l-am mai pus ca nu are sens in fata unui numar), iar la numitor, am pus cifra 1, urmata de atatea zerouri cate are fractia zecimala dupa virgula, apoi am simplificat prin 4 si astfel am obtinut o fractie ireductibila.

3,576=\frac{3576}{1000}^{(4}=\frac{894}{250}^{(2}=\frac{447}{125}

La fel ca si la exemplu de mai sus, am scris la numarator, numarul  asa cum este, iar la numitor cifra 1 urmata de atatea zerouri cate cifre sunt dupa virgula, adica 3 zerouri pentru ca avem trei cifre dupa virgula, apoi am simplificat si astfel al obtinut o fractie ireductibila.

b) transformarea fractiilor zecimale periodice simple in fractii ordinare

\bar{a_{0}, \left(a_{1}a_{2}....a_{p}\right)}=\frac{\bar{a_{0}a_{1}a_{2}...a_{p}}}{\underbrace{999...0}_{\mbox{p cifre}}}

Exemple:

0,(6)=\frac{6}{9}^{(3}=\frac{2}{3}

Observati ca in cazul fractiei de mai sus, la numarator am scris cifra 6, iar la numitor cifra 9, deoarece (o singura cifra deoarece in perioada apare o singura cifra)

3,(24)=3\frac{24}{99}

Observati ca in cazul exemplului de mai sus in perioada avem doua cifre si astfel la numitor avem doua cifre de 99, iar daca introducem intregii in fractiei obtinem fractia

3\frac{24}{99}=\frac{3\cdot 99+24}{99}=\frac{297+24}{99}=\frac{321}{99}^{3}=\frac{107}{33}

Sau mai simplu transformam fractia zecimala periodica simpla astfel

3,(24)=\frac{324-3}{99}=\frac{321}{99}^{(3}=\frac{107}{33}

c) transformarea fractiilor zecimale periodice mixte in fractii ordinare:

\bar{a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}...a_{p}\left(b_{1}b_{2}...b_{n}\right)}=a_{0}\frac{\bar{a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}...a_{p}b_{1}b_{2}...b_{n}}}{\underbrace{999...9}_{\mbox {p cifre}}\underbrace{000...0}_{\mbox{n cifre}}}

Exemplu:

0,0(6)=\frac{6}{90}^{(6}=\frac{1}{15}

Observati ca la numarator am scris cifra 6, iar la numitor o singura cifra de 9, deoarece in perioada avem o singura cifra, si o singura cifra de 0, deoarece intre perioada si virgula avem o singura cifra.

2,3(21)=2\frac{321-3}{990}=2\frac{318}{990}

Observati ca in cazul exemplului de mai sus la numarator amscris mai intai intregul, apoi la fractie numarul dupa virgula (nu am ma tinut cont de perioada) din care am scazut numarul din fata perioadei, adica 3, iar la numitor, doua cifre de 9, deoarece in perioada avem doua cifre si o cifra de 0, deoarece intre perioada si virgula apare o singura cifra.

Sau mai simplu putem sa transformam fractia astfel:

2,3(21)=\frac{2321-23}{990}=\frac{2298}{990}

Daca la prima metoda intyroducem intregii in fractie obtinem tot acelasi lucru.