Numere prime si numere compuse

Notiunea de divizor si multiplu ne-am reamitit-o, astfel in acest articol o sa invatam despre numere prime si numere compuse. Incepem prin a ne reaminti ca orice numar cu execeptia lui 1, are cel putin doi divizori, adica pe 1 si pe el insusi.

Asadar un numar se numeste prim daca are exact doi divizori, adica pe 1 si pe el insusi.

Deci numerele care au doar doi divizori se numesc numere prime.

Exemplu de numere prime:

2; 3; 5; 7; 11

Observati ca 2 este un numar prim deoarece are divizor doar pe 1 si pe el insusi, de altfel 2 este singurul numar par prim.

In cazul celorlalte numere observam ca sunt impare, dar aceasta nu este o regula, deoarece exista numere impare care nu sunt prime, de exemplu 9 este un numar impar dar nu este prim deoarece are divizori pe 1, pe 9, dar si pe 3, deci are mai mult de 2 divizori.

Numerele care nu sunt prime se numesc numere compuse.

Sau mai bine zis numerele care au cel putin trei divizori se numesc numere compuse.

Asadar numarul 9 este un numar compus.

O alta observatie de care trebuie sa tinem cont este faptul ca numarul 1 nu este nici numar prim, nici numar compus, deoarece are doar un singur divizor, adica pe el insusi.

Aplicatii cu numere prime si numere compuse

1) Produsul dintre un numar natural prim si un numar impar este 4 866. Aflati numerele.

Solutie:

Observam ca produsul dintre numarul natural prim si numarul impar este un numar par, astfel cum unul dintre numere este impare, evident celalalt este par astfel, numarul care trebuie sa-l gasim este si prim, dar si par. Dar dupa cum am spus si mai sus singurul numar par prim este 2, astfel unul dintre numere este 2, acum sa aflam celalalt numar impar si avem

2\cdot n=4866\Rightarrow n=4866:2\Rightarrow n=2433

Deci numarul prim este 2, iar numarul impar este 2433

2) Aratati ca oricare ar fi n\in N, numarul 2^{2n}\cdot 5^{2n+1}+1 nu este prim

Solutie:

Avem numarul

2^{2n}\cdot 5^{2n+1}+1=2^{2n}\cdot 5^{2n}\cdot 5+1=\left(2\cdot 5\right)^{2n}+1=

10^{2n}\cdot 5+1=1\underbrace{00..00}_{2n\;\; zerouri}\cdot 5+1=

5\underbrace{00..00}_{2n-1\;\; zerouri}+1=

5\underbrace{000..000}_{2n-1\;\; zerouri} 1

Si acum daca calculam suma cifrelor obtinem:

5+\underbrace{0+0+0+0+...+0}_{2n-1\;\; zerouri}+1=6

Deci suma cifrelor este divizibilca cu 3, astfel stim si ca numarul este divizibil cu 3. Ne putem reaminti si criteriile de divizibilitate si astfel obtinem ca numarul nu este prim, deci este compus.