Operatii cu intervale

Ce operatii putem sa efectuam cu ajutorul intervalelor?

Daca consieram ca avem doua multimi A si B, putem sa calculam reuniunea celor doua multimi, intersectia celor doua multimi, dar si diferenta celor doua multimi.

La fel ca si la operatiile  celor doua multimi putem sa efectuam aceste operatii si la intervale, astfel sa ne reamintim ce inseamna reuniunea, intersectia si diferenta a doua multimii.

Astfel reuniunea a doua multimi este:

A\cup B=\left\{x\in R|x\in A\;\;sau\;\;\; x\in B\right\} (la reuniunea a doua multimi luam elementele comune si necomune din cele oua multimi)

Intersectia a doua multimi este:

A\cap B=\left\{x\in R|x\in A\;\; si\;\; x\in B\right\} (la intersectia a oua multimi luam elementele comune din ambele multimi)

IAr diferenta a doua multimi este:

A-B=\left\{x\in R|x\in A\;\; si\;\; x\notin B\right\}(la diferenta a doua multimi luam elementele care sunt intr-o multime si nu sunt in alta).

Aplicatii:

1. Determinati multimile: a, B, A\cap Z, B\cap N

unde A=\left\{x\in R|x-2\leq 1\leq x+3\right\}

Si B=\left\{x\in R||x|\geq 2\right\}

Solutie

Mai intai afla ce elemente are multimea A sau intervalul in care x ia valori

Astfel avem inegalitatea x-2\leq 1\leq x+3

Pentru inceput consideram inegalitatea x-2\leq 1

Dar si 1\leq x+3

Aum rezolvam inecuatiile x-2\leq 1\Rightarrow x\leq 1+2\Rightarrow x\leq 3

Si dupa notiunile pe care le-am invatat de la definirea intervalelor, mai sus am obtinut intervalul nemarginit la stanga si marginit la dreapta

x\in (-\infty; 3]

Dar acum avem sa calculam si inegalitatea

1\leq x+3\Rightarrow 1-3\leq x\Rightarrow -2\leq x

Si obtinem intervalul x\in [-2;+\infty)

Acum ca sa aflam multimea A sau intervalul A calculam intersectia celor doua intervale, adica (-\infty;3]\cap [-2; +\infty)=[-2;3]

cum calculam intersectia a diua intervale

Deci A=[-2; 3]

Acum sa aflam intervalul B

stim ca |x|\geq 2

Trebuie sa stim ca  pentru inceput x\leq -2\Rightarrow x\in (-\infty; -2]

Dar si x\geq 2\Rightarrow x\in [2; +\infty)

Astfel pentru a afla ce elemente are multimea B, calculam reuniunea celor doua intervale si obtinem (-\infty; -2]\cup [2; +\infty)

Acum calculam A\cap Z=[-2;3]\cap Z=\left\{-2; -1; 0; 1; 2; 3\right\}

Acum pentru a calcula B\cap N=\left[(-\infty; -2]\cup [2; +\infty)\right]\cap N=[2; +\infty)=\left\{2; 3; 4; 5;....\right\}