Operatii cu multimi exercitii rezolvate

Dupa ce am invatat notiunea de multime, astazi invatam sa efectuam operatii cu multimi.

Asadar operatiile care le efectuam cu multimi sunt: reuniunea, intersectia, dar si diferenta a doua multimi.

Cum ne ajuta multimile, dar si operatiile cu multimi?

Imaginati-va ca sunteti spectatori la un meci de fotbal, asadar totalitatea spectatorilor formeaza multimea spectatorilor.

Dar la acest meci de fotbal sunt si femei si barbati deci se formeaza doua submultimi.

Daca notam cu A multimea barbatilor de la meciul de fotbal si

B multimea femeilor de la meciul de fotbal, dar exista si copii, care pot fi, fie fetite, fie baieti, putem efectua operatii cu multimii

Asadar,

Reuniunea multimilor

Definitie: Se numeste reuniunea multimilor A si B, multimea tuturor elementelor din A si B, elementele comune fiind luate o singura data.

$A\cup B=\left\{x|x\in A\;\; sau \;\; x\in B\right\}$

Adica cand avem sa calculam reuniunea multimilor luam elementele celor doua multimi o singura data.

Definitie: Se numeste interesctia a oua multimi A si B, multimea elementelor comune celor doua multimi.

$A\cap B=\left\{x|x\in A\;\;\; si\;\;\; x\in B\right\}$

Adica la intersectia celor doua multimi luam elementele comune dintre cele doua multimi.

Observatie: Doua multimi se numesc disjuncte daca intersectia lor este mutimea vida (adica nu au niciun element).

Definitie: Se numeste diferenta multimilor A si B, multimea elementelor din A, care nu se afla in B.

Notam A-B

$A-B=\left\{x|x\in A\;\;\; si\;\; x\notin B\right\}$

Aplicatie:

1) Fie multimile:

$A=\left\{x|x\in N,x+3<8\right\}$ si $B=\left\{x|x\in N, x\;\; divizor \;\; al \;\; lui \;\; 10\right\}$

a) Determinati multimile A si b

b) Determinati $A\cup B, A\cap B, B-A, A-N, A-N^{*}$

Solutie

a) Mai intai aflam multimile A si B

Asadar ca sa aflam multimea A calculam

$x+3<8\Rightarrow x<8-3\Rightarrow x<5$

Dar mai stim si ca $x\in N$

Deci obtinem

$A=\left\{0; 1; 2; 3; 4\right\}$

Acum ca sa aflam multimea B, mai intai scriem divizorii lui 10

$D_{10}=\left\{1; 2; 5; 10\right\}$

Iar multimea B este

$B=\left\{1; 2; 5; 10\right\}$

b) Mai intai calculam reuniunea celor doua multimi:

$A\cup B=\left\{0; 1; 2; 3; 4; 5; 10\right\}$

La reuniunea celor doua multimii luam toate elementele celor doua multimi

Acum calculam

$A\cap B=\left\{1; 2\right\}$ (la intersectia a doua multimi luam doar elementele comune celor doua multimi)

$B-A=\left\{5; 10\right\}$ (la diferenta a doua multimi, din multimea B scadem elementele care sunt si in multimea A)

$A-N=\Phi$ (din multimea A, am scazut multimea numerelor naturale si cum toate cele trei numere erau naturale obtinem multimea vida, adica multimea B-N nu are nici un element)

$A-N^{*}=\left\{0\right\}$ (din multimea a scadem emementele multimii numerelor naturale mai putin elementul 0 si astfel obtinem ca multimea are un singur element, adica 0).