Fractii echivalente fractii ireductibile

Prima intrebare pe care ne-o punem cand auzim de fractii echivalente fractii ireductibile este : La ce ne foloseste sa stim care sunt fractiile echivalente fractii ireductibile?

Alte intrebari:

Cum definim fractiile echivalente?

Cum definim o fractie ireductibila?

Operatiile cu numere rationale pozitive ne ajuta sa calculam mai usor anumite numere, sa efectuam calculele, atat in viata de zi cu zi, cat si la efectuarea unor calcule mai laborioase.

Astfel in acest articol o sa vorbim mai mult despre fractiile ordinare, dar o sa invatatm si cand doua fractii sunt echivalente, cand o fractie se poate simplifica, cum aplificam o fractie.

Incepem prin a defini fractiile ordinare.

Definitie: Se numeste fractie ordinara o pereche de numere naturale a si b cu b\neq 0 scrise sub forma \frac{a}{b}, unde a se numeste numarator si b numitorul fractiei.

Doua fractii \frac{a}{b} si \frac{c}{d} se numesc echivalente, adica \frac{a}{b}=\frac{c}{d} daca si numai daca are loc egalitatea a\cdot d=b\cdot c

Ca sa efectuam operatii cu numere rationale pozitive trebuie sa stim sa amplificam si sa simplificam o fractie.

Astfel, a amplifica  o fractie cu un numar natural n,  inseamna a inmulti atat numitorul cat si numaratorul fractiei cu acelasi numar, adica n.

^{n)}\frac{a}{b}=\frac{n\cdot a}{n\cdot b}

Exemplu: ^{2)}\frac{2}{3}=\frac{2\cdot 2}{2\cdot 3}=\frac{4}{3}

A simplifica o fractie cu un divizor n, comun numitorului si numaratorului, inseamna a imparti atat numitorul cat si numaratorul la acel numar n.

\frac{a}{b}^{(n}=\frac{a:n}{b:n}

Exemplu:

\frac{4}{6}^{(2}=\frac{4:2}{6:2}=\frac{2}{3}

O fractie care nu se mai poate simpifica se numeste fractie ireductibila.

O fractie se numeste ireductibila, daca si numai daca cel mai mare divizor comun al numitorului si numaratorului este  este 1.

Adica numitorul si numaratorul sunt numere prime intre ele.

\frac{a}{b}  ireductibile daca si numai daca (a,b)=1

Exemplu:

\frac{5}{6} este ireductibila pentru ca (5, 6)=1

Multimea numerelor rationale pozitive o definim astfel:

Q_{+}=\left\{\frac{a}{b}|a, b\in N\;\; si \;\; b\neq 0\right\}

Exercitii:

1. Aflati numerele naturale x si y, astfel incat urmatoarele fractii sa formeze un sir de fractii echivalente.

\frac{2}{3}, \frac{x+1}{6},\frac{10}{2y+1}

Cele trei fractii sunt echivalente daca si numai daca \frac{2}{3}=\frac{x+1}{6}=\frac{10}{2y+1}

Astfel daca luam egalitatea primelor doua fractii obtinem:

\frac{2}{3}=\frac{x+1}{6}|\cdot 6\Rightarrow \frac{2}{3}\cdot 6^{3}=\frac{x+1}{6}\cdot 6^{(6}\Rightarrow 2\cdot 2=\left(x+1\right)\cdot 1\Rightarrow 4=x+1\Rightarrow 4-1=x\Rightarrow 3=x

Deci obtinem petru x=3, primele doua fractii sunt echivalente.

\frac{2}{3}=\frac{3+1}{6}\Rightarrow \frac{2}{3}=\frac{4}{6}

Acum daca luam prima fractie si cea de-a treia obtinem:

\frac{2}{3}=\frac{10}{2y+1}|\cdot 3\Rightarrow \frac{2}{3}\cdot 3^{(3}=\frac{10}{2y+1}\cdot 3\Rightarrow 2\cdot 1=\frac{30}{2y+1}|\cdot \left(2y+1\right)\Rightarrow 2\cdot\left(2y+1\right)=\frac{30}{2y+1}\cdot \left(2y+1\right)^{(\left(2y+1\right)}\Rightarrow 4y+2==30\Rightarrow 4y=30-2\Rightarrow 4y=28\Rightarrow y=28:4\Rightarrow y=7

Deci pentru y=7, cele trei fractii sunt echivalente:

\frac{2}{3}=\frac{4}{6}=\frac{10}{2\cdot 7+1}\Rightarrow \frac{2}{3}=\frac{4}{6}=\frac{10}{15}

Si astfel am obtinut cele tri fractii echivalente.

2. Simpificati fractiile astfel incat sa obtineti fractii ireductibile:

\frac{20}{30}; \frac{250}{350}; \frac{34a+34b}{51a+51b}; \frac{72a}{108a}

Solutie: \frac{20}{30}^{(10}=\frac{20:10}{30:10}=\frac{2}{3}

In cazul fractiei de mai sus am simplificat fractia prin 10 si astfel am obtinut o fractie ireductibila.

\frac{250}{350}^{(10}=\frac{250:10}{350:10}=\frac{25}{35}^{(5}=\frac{5}{7}

Observati ca la aceasta fractie mai intai am simplificat prin 10, unde am obtinut o fractie reductibila, care am simplificat-o din nou prin 5 si astfel am obtinut o fractie ireductibila.

\frac{34a+34b}{51a+51b}=\frac{34\left(a+b\right)}{51\left(a+b\right)}^{\left(a+b\right)}=\frac{34}{51}^{(17}=\frac{2}{3}

In cazul fractiei de mai sus, mai intai am dat factor comun, la numarator numarul 34 iar la numitor numarul 51, mai intai am simplificat prin  (a+b), iar apoi prin 17, unde am obtinut o fractie ireductibila.

\frac{72a}{108a}^{(a}=\frac{72}{108}^{(9}=\frac{8}{12}^{(4}=\frac{2}{3}

In cazul acestei fractii mai intai am simplificat prin a, apoi prin 9, unde am obtinut tot o fractie reductibila, iar ultima data prin 4, unde am obtinut o fractie ireductibila.

Ca sa simpificam mult mai usor fractiile trebuie sa invatam Criteriile de divizibilitate, dar si sa stim sa simplificam.