Ordinea efectuarii operatiilor si folosirea parantezelor

Probabil ca si in clasele anterioare ati invatat ordinea efectuarii operatiilor. Si la numere rationale se respecta ordinea efectuarii operatiilor, astfel

In multimea numerelor  rationale definim urmatoarele operatii:

– de ordinul I, adica adunarile si scaderile

– de ordinul II, adica inmultirile si scaderile

– de ordinul III, adica ridicarea la putere

Ordinea efectuarii operatiilor in multimea numerelor rationale este:

– cand avem operatii de acelasi ordin, se efectueaza in ordinea in care sunt scrise

– cand avem operatii de ordin diferit, se efectueaza ma intai operatiile de gradul III, apoi cele e gradul II si, in ultimul rand cele de gradul I.

In rezolvarea exercitiilor in care apar paranteze, efectuam mai intai operatiile din parantezele rotunde, apoi din cele patrate si, apoi cele dintre acolade.

Exemplu:

a) \left(-2^{2}\right)\cdot\left\{0,1-\left[0,5+\frac{1}{6}:\left(-0,75\right)\right]:\frac{1}{\left(-0,9\right)^{2}}\right\}-1

Ca sa rezolvam exercitiul mai intai transformam fractiile zecimale in fractii ordinare, astfel exercitiul devine:

\left(-4\right)\cdot\left\{\frac{1}{10}-\left[\frac{5}{10}^{(5}+\frac{1}{6}:\left(-\frac{75}{100}^{(25}\right)\right]:\frac{1}{\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}}\right\}-1

Acum efectuam anumite simplificari pentru a ne simplifica calculele

\left(-4\right)\cdot\left\{\frac{1}{10}-\left[\frac{1}{2}+\frac{1}{6}:\left(-\frac{3}{4}\right)\right]:\frac{1}{\frac{81}{100}}\right\}-1

Observati ca am efectuat si ridicarea la putere

\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}=\frac{81}{100}, dar de ce avem semnul +, deoarece stim ca un numar negativ ridicat la o putere para ne da un numar pozitiv si apoi am efectuat ridicare numarului rational.

Acum in etapa urmatoare de rezolvare a exercitiului efectuam operatiile de impartire in paranteza dreapta, care acum devine rotunda

\left(-4\right)\cdot \left[\frac{1}{10}-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\cdot\frac{4}{3}^{(2}\right):\left(1:\frac{81}{100}\right)\right]-1

Observati ca la impartirea

+\frac{1}{6}:\left(-\frac{3}{4}\right), avem operatia de impartire unui numar pozitiv la un numar negativ si astfel obtinem un numar negativ, iar impartirea celor doua fractii, stim de la impartirea numerelor ratioanle ca este egal cu produsul dintre prima fractie si inversul celei de-a doua , astfel obtinem -\frac{1}{6}\cdot\frac{4}{3}

In urmatoarea etapa a exercitiului, mai intai simplificam pe diagonala fractiile ( prin 2)  din paranteza rotunda, dar si inmultirile,astfel obtinem:

\left(-4\right)\cdot\left[\frac{1}{10}-\left(\frac{1}{2}-\frac{1\cdot 2}{3\cdot 3}\right):\left(\frac{1}{1}\cdot\frac{100}{81}\right)\right]-1=    \left(-4\right)\cdot\left[\frac{1}{10}-\left(^{9)}\frac{1}{2}-^{2)}\frac{2}{9}\right):\frac{100}{81}\right]-1

Acum in paranteza rotunda aducem la acelasi numitor si obtinem, (numitorul comun este 18):

\left(-4\right)\cdot\left[\frac{1}{10}-\left(\frac{9}{18}-\frac{4}{18}\right):\frac{100}{81}\right]-1

Acum efectuam operatia de scadere in paranteza rotunda si obtinem:

\left(-4\right)\cdot\left(\frac{1}{10}-\frac{5}{18}:\frac{100}{81}\right)-1

Acum in paranteza rotunda efectuam operatia de impartire la fel ca si mai sus si obtinem

\left(-4\right)\cdot \left(\frac{1}{10}-\frac{5}{18}\cdot\frac{81}{100}\right)-1=\left(-4\right)\cdot\left(\frac{1}{10}-\frac{1}{2}\cdot\frac{9}{20}\right)-1

Observati ca mai sus am simplificat pe diagonala in produs o data prin 5 si apoi prin 9,

\left(-4\right)\cdot\left(\frac{1}{10}-\frac{1}{2}\cdot\frac{9}{20}\right)-1

Acum efectuam produsul si obtinem

\left(-4\right)\cdot\left(\frac{1}{10}-\frac{9}{40}\right)-1

Acum in paranteza rotunda din noua aducem la acelasi numitor si obtnem

\left(-4\right)\cdot\left(\frac{4}{40}-\frac{9}{40}\right)-1=    \left(-4\right)\cdot \frac{4-9}{40}-1=\left(-4\right)\cdot\left(\frac{-5}{40}\right)-1=

Acum efectuand inmultirea obtinem

\frac{20}{40}^{(20}-1=\frac{1}{2}-{2)}^1=\frac{1}{2}-\frac{2}{2}=\frac{1-2}{2}=-\frac{1}{2}

b)\frac{\left(1-\frac{5}{12}\right)\cdot\left(-3\right)-\left(-1\frac{1}{4}\right):\left(-\frac{15}{6}\right)}{1-\frac{1}{4}}

Probabil ca execitiul o sa vi sa para greu, dar daca ne uitam cu atentie putem sa-l privim ca fiind un exercitiu de forma:

\left[\left(1-\frac{5}{12}\right)\cdot\left(-3\right)-\left(-1\frac{1}{4}\right):\left(-\frac{15}{6}\right)\right]:\left(1-\frac{1}{4}\right)

Asadar un exercitiu in care avem atat paranteze rotunde cat si drepte, acum la fiecare paranteza fie aducem la acelasi numitor fie introducem intregii in fractii, astfel exercitiul devine

\left[\left(\frac{12\cdot 1}{12}-\frac{1\cdot 5}{12}\right)\cdot\left(-3\right)-\left(-\frac{1\cdot 4+1}{4}\right):\left(-\frac{15}{6}\right)\right]:\left(\frac{4\cdot 1}{4}-\frac{1\cdot 1}{4}\right)=

 

\left[\left(\frac{12}{12}-\frac{5}{12}\right)\cdot\left(-3\right)-\left(-\frac{5}{4}\right):\left(-\frac{15}{6}\right)\right]:\left(\frac{4}{4}-\frac{1}{4}\right)=

\left[\left(\frac{12-5}{12}\right)\cdot\left(-3\right)-\left(-\frac{5}{4}\right)\cdot\left(-\frac{6}{15}\right)\right]:\frac{4-1}{4}

Acum efectuam operatiile de inmultire

\left[\left(\frac{7\cdot\left(-3\right)}{12}\right)-\left(+\frac{5}{4}\cdot\frac{6}{15}\right)\right]:\frac{3}{4}

Acum \left[\left(\frac{-21}{12}^{(3}\right)-\frac{30}{60}^{(30}\right]:\frac{3}{4}=    \left(-\frac{7}{4}-\frac{1}{2}\right):\frac{3}{4}

astfel daca aducem la acelasi numitor in paranteza rotunda obtinem:

\left(\frac{1\cdot \left(-7\right)}{4}-\frac{2\cdot 1}{4}\right):\frac{3}{4}=    \left(\frac{-7}{4}-\frac{2}{4}\right):\frac{3}{4}=    \frac{-7-2}{12}:\frac{3}{4}=\frac{-9}{4}\cdot\frac{4}{3}=\frac{-36}{12}^{(12}=\frac{-3}{1}=-3

deci important sa respectam ordinea efectuarii operatiilor, adica mai intai efectuam ridicarea la putere, apoi inmultirile si impartirile in care apar si nu in ultimul rand adunarile si scaderile in ordinea in care apar.