Ordinea efectuarii operatiilor si folosirea parantezelor

Probabil ca si in clasele anterioare ati invatat ordinea efectuarii operatiilor. Si la numere rationale se respecta ordinea efectuarii operatiilor, astfel

In multimea numerelor  rationale definim urmatoarele operatii:

– de ordinul I, adica adunarile si scaderile

– de ordinul II, adica inmultirile si scaderile

– de ordinul III, adica ridicarea la putere

Ordinea efectuarii operatiilor in multimea numerelor rationale este:

– cand avem operatii de acelasi ordin, se efectueaza in ordinea in care sunt scrise

– cand avem operatii de ordin diferit, se efectueaza ma intai operatiile de gradul III, apoi cele e gradul II si, in ultimul rand cele de gradul I.

In rezolvarea exercitiilor in care apar paranteze, efectuam mai intai operatiile din parantezele rotunde, apoi din cele patrate si, apoi cele dintre acolade.

Exemplu:

a) \left(-2^{2}\right)\cdot\left\{0,1-\left[0,5+\frac{1}{6}:\left(-0,75\right)\right]:\frac{1}{\left(-0,9\right)^{2}}\right\}-1

Ca sa rezolvam exercitiul mai intai transformam fractiile zecimale in fractii ordinare, astfel exercitiul devine:

\left(-4\right)\cdot\left\{\frac{1}{10}-\left[\frac{5}{10}^{(5}+\frac{1}{6}:\left(-\frac{75}{100}^{(25}\right)\right]:\frac{1}{\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}}\right\}-1

Acum efectuam anumite simplificari pentru a ne simplifica calculele

\left(-4\right)\cdot\left\{\frac{1}{10}-\left[\frac{1}{2}+\frac{1}{6}:\left(-\frac{3}{4}\right)\right]:\frac{1}{\frac{81}{100}}\right\}-1

Observati ca am efectuat si ridicarea la putere

\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}=\frac{81}{100}, dar de ce avem semnul +, deoarece stim ca un numar negativ ridicat la o putere para ne da un numar pozitiv si apoi am efectuat ridicare numarului rational.

Acum in etapa urmatoare de rezolvare a exercitiului efectuam operatiile de impartire in paranteza dreapta, care acum devine rotunda

\left(-4\right)\cdot \left[\frac{1}{10}-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\cdot\frac{4}{3}^{(2}\right):\left(1:\frac{81}{100}\right)\right]-1

Observati ca la impartirea

+\frac{1}{6}:\left(-\frac{3}{4}\right), avem operatia de impartire unui numar pozitiv la un numar negativ si astfel obtinem un numar negativ, iar impartirea celor doua fractii, stim de la impartirea numerelor ratioanle ca este egal cu produsul dintre prima fractie si inversul celei de-a doua , astfel obtinem -\frac{1}{6}\cdot\frac{4}{3}

In urmatoarea etapa a exercitiului, mai intai simplificam pe diagonala fractiile ( prin 2)  din paranteza rotunda, dar si inmultirile,astfel obtinem:

\left(-4\right)\cdot\left[\frac{1}{10}-\left(\frac{1}{2}-\frac{1\cdot 2}{3\cdot 3}\right):\left(\frac{1}{1}\cdot\frac{100}{81}\right)\right]-1=    \left(-4\right)\cdot\left[\frac{1}{10}-\left(^{9)}\frac{1}{2}-^{2)}\frac{2}{9}\right):\frac{100}{81}\right]-1

Acum in paranteza rotunda aducem la acelasi numitor si obtinem, (numitorul comun este 18):

\left(-4\right)\cdot\left[\frac{1}{10}-\left(\frac{9}{18}-\frac{4}{18}\right):\frac{100}{81}\right]-1

Acum efectuam operatia de scadere in paranteza rotunda si obtinem:

\left(-4\right)\cdot\left(\frac{1}{10}-\frac{5}{18}:\frac{100}{81}\right)-1

Acum in paranteza rotunda efectuam operatia de impartire la fel ca si mai sus si obtinem

\left(-4\right)\cdot \left(\frac{1}{10}-\frac{5}{18}\cdot\frac{81}{100}\right)-1=\left(-4\right)\cdot\left(\frac{1}{10}-\frac{1}{2}\cdot\frac{9}{20}\right)-1

Observati ca mai sus am simplificat pe diagonala in produs o data prin 5 si apoi prin 9,

\left(-4\right)\cdot\left(\frac{1}{10}-\frac{1}{2}\cdot\frac{9}{20}\right)-1

Acum efectuam produsul si obtinem

\left(-4\right)\cdot\left(\frac{1}{10}-\frac{9}{40}\right)-1

Acum in paranteza rotunda din noua aducem la acelasi numitor si obtnem

\left(-4\right)\cdot\left(\frac{4}{40}-\frac{9}{40}\right)-1=    \left(-4\right)\cdot \frac{4-9}{40}-1=\left(-4\right)\cdot\left(\frac{-5}{40}\right)-1=

Acum efectuand inmultirea obtinem

\frac{20}{40}^{(20}-1=\frac{1}{2}-{2)}^1=\frac{1}{2}-\frac{2}{2}=\frac{1-2}{2}=-\frac{1}{2}

b)\frac{\left(1-\frac{5}{12}\right)\cdot\left(-3\right)-\left(-1\frac{1}{4}\right):\left(-\frac{15}{6}\right)}{1-\frac{1}{4}}

Probabil ca execitiul o sa vi sa para greu, dar daca ne uitam cu atentie putem sa-l privim ca fiind un exercitiu de forma:

\left[\left(1-\frac{5}{12}\right)\cdot\left(-3\right)-\left(-1\frac{1}{4}\right):\left(-\frac{15}{6}\right)\right]:\left(1-\frac{1}{4}\right)

Asadar un exercitiu in care avem atat paranteze rotunde cat si drepte, acum la fiecare paranteza fie aducem la acelasi numitor fie introducem intregii in fractii, astfel exercitiul devine

\left[\left(\frac{12\cdot 1}{12}-\frac{1\cdot 5}{12}\right)\cdot\left(-3\right)-\left(-\frac{1\cdot 4+1}{4}\right):\left(-\frac{15}{6}\right)\right]:\left(\frac{4\cdot 1}{4}-\frac{1\cdot 1}{4}\right)=

 

\left[\left(\frac{12}{12}-\frac{5}{12}\right)\cdot\left(-3\right)-\left(-\frac{5}{4}\right):\left(-\frac{15}{6}\right)\right]:\left(\frac{4}{4}-\frac{1}{4}\right)=

\left[\left(\frac{12-5}{12}\right)\cdot\left(-3\right)-\left(-\frac{5}{4}\right)\cdot\left(-\frac{6}{15}\right)\right]:\frac{4-1}{4}

Acum efectuam operatiile de inmultire

\left[\left(\frac{7\cdot\left(-3\right)}{12}\right)-\left(+\frac{5}{4}\cdot\frac{6}{15}\right)\right]:\frac{3}{4}

Acum \left[\left(\frac{-21}{12}^{(3}\right)-\frac{30}{60}^{(30}\right]:\frac{3}{4}=    \left(-\frac{7}{4}-\frac{1}{2}\right):\frac{3}{4}

astfel daca aducem la acelasi numitor in paranteza rotunda obtinem:

\left(\frac{1\cdot \left(-7\right)}{4}-\frac{2\cdot 1}{4}\right):\frac{3}{4}=    \left(\frac{-7}{4}-\frac{2}{4}\right):\frac{3}{4}=    \frac{-7-2}{12}:\frac{3}{4}=\frac{-9}{4}\cdot\frac{4}{3}=\frac{-36}{12}^{(12}=\frac{-3}{1}=-3

deci important sa respectam ordinea efectuarii operatiilor, adica mai intai efectuam ridicarea la putere, apoi inmultirile si impartirile in care apar si nu in ultimul rand adunarile si scaderile in ordinea in care apar.

 

 

Unghiuri adiacente Bisectoarea unui unghi

Dupa ce am introdus  notiunea de unghi si am facut clasificarea unghiurilor, pentru cei care nu va reamintiti click aici. Vine vremea sa discutam despre unghiuri adiacente, dar si bisectoarea unui unghi.

Dar cu ce ne ajuta sa stim notiunea de unghi, notiunea de unghiuri adiacente, dar si notiunea de bisectoare. Intrebari pe care le puneti majoritatea dintre  voi.

Raspunsul il aflati pe parcursul acestui articol.

Mai intai definim notiunea de unghiuri adiacente

Definitie:

Doua unghiuri se numesc adiacente, daca au o semidreapta in comun si interioarele disjuncte (adica interioarele diferite, interioarele nu au aceiasi marime).

unghiuri adiacente

Daca unghiurile \widehat{AOB} si \widehat{BOC} sunt adiacente, atunci

– [OB este semidreapta comuna si

m\left(\widehat{AOB}\right)\neq m\left(\widehat{BOC}\right)

Dar si: m\left(\widehat{AOB}\right)+m\left(\widehat{BOC}\right)=m\left(\widehat{AOC}\right)

Mai stim si ca: m\left(\widehat{AOB}\right)=m\left(\widehat{AOC}\right)-m\left(\widehat{BOC}\right)

Dar mai putem afla si m\left(\widehat{BOC}\right)=m\left(\widehat{AOC}\right)-m\left(\widehat{AOB}\right)

Acum definim si notiunea de bisectoare:

Definitie: Bisectoarea unui unghi este semidreapta care imparte unghiul in doua unghiuri congrunete (adica semidreapta care imparte unghiul in doua unghiuri cu aceiasi marime)

ce inseamna bisectoarea unui unghi

Observam ca in figura de mai sus \widehat{EDG}\equiv\widehat{FDG}\Rightarrow m\left(\widehat{EDG}\right)=m\left(\widehat{FDG}\right)

Stim ca masura unghiului m\left(\widehat{EDF}\right)=90^{0}

Deci cum stim ca [DG este semindreapta care imparte unghiul EDF in doua unghiuri congrunete gasim ca m\left(\widehat{EDG}\right)=m\left(\widehat{FDG}\right)=\frac{m\left(\widehat{EDF}\right)}{2}=\frac{90^{0}}{2}=45^{0}

Bisectoarea unui unghi putem sa o construim cum  ajutorul unui raportor sau cu ajutorul riglei negradate si a compasului.

Cu ajutorul raportorului este simplu, deoarece dupa ce am invatat sa masura unghiurile cu raportorul si procedam astfel:

– masuram unghiul

– impartim masura unghiului la 2

– reprezentam semidreapta care formeaza unghiuri congruente cu laturile unghiului, adica bisectoarea unghiului

Aplicatii:

1. Daca [OD, respectiv [OE sunt bisectoarele unghiurilor adiacente \widehat{AOB} si \widehat{BOC}, iar m\left(\widehat{DOE}\right)=65^{0}, aflati:

a) m\left(\widehat{AOC}\right)

b) m\left(\widehat{AOB}\right), m\left(\widehat{BOC}\right), daca m\left(\widehat{AOD}\right)=4\cdot m\left(\widehat{BOC}\right)

Demonstratie:

probleme rezolvate cu bisectoarea unui unghi

Stim din ipoteza problemei ca:

– [OD bisectoarea unghiului AOB, deci obtinem

m\left(\widehat{DOB}\right)=m\left(\widehat{AOD}\right)=\frac{m\left(\widehat{AOB}\right)}{2}

Deci obtinem ca m\left(\widehat{DOB}\right)=\frac{m\left(\widehat{AOB}\right)}{2}

– [OE este bisectoarea unghiului BOC, deci cu notiunile definite mai sus, obtinem ca m\left(\widehat{BOE}\right)=m\left(\widehat{EOC}\right)=\frac{m\left(\widehat{BOC}\right)}{2}

Deci obtinem ca m\left(\widehat{BOE}\right)=\frac{m\left(\widehat{BOC}\right)}{2}

Dar m\left(\widehat{DOE}\right)=m\left(\widehat{DOB}\right)+m\left(\widehat{BOE}\right)

\Rightarrow 65^{0}=\frac{m\left(\widehat{AOB}\right)}{2}+\frac{m\left(\widehat{BOC}\right)}{2}\Rightarrow

65^{0}=\frac{m\left(\widehat{AOB}\right)+m\left(\widehat{BOC}\right)}{2}|\cdot 2\Rightarrow

65^{0}\cdot 2=m\left(\widehat{AOB}\right)+m\left(\widehat{BOC}\right)

\Rightarrow m\left(\widehat{AOB}\right)+m\left(\widehat{BOC}\right)=130^{0}

Dar stim ca m\left(\widehat{AOC}\right)=m\left(\widehat{AOB}\right)+m\left(\widehat{BOC}\right)

Deco obtinem ca m\left(\widehat{AOC}\right)=130^{0}

Observati ca pentru a afla masura unghiurilor am folosit notiunile invatate pana acum, adica notiunea de bisectoare, dar si inmultirea gradelor cu un numar natural.

b) Stim ca m\left(\widehat{AOB}\right)=4\cdot m\left(\widehat{BOC}\right)

Stim ca m\left(\widehat{AOC}\right)=m\left(\widehat{AOB}\right)+m\left(\widehat{BOC}\right)

Dar de la punctul anterior stim ca m\left(\widehat{AOC}\right)=130^{0}

Deci relatia devine 130^{0}=4\cdot m\left(\widehat{BOC}\right)+m\left(\widehat{BOC}\right)\Rightarrow 5m\left(\widehat{BOC}\right)=130^{0}|:5\Rightarrow m\left(\widehat{BOC}\right)=26^{0}

Deci gasim ca m\left(\widehat{BOC}\right)=26^{0}

Acum putem sa aflam si masura unghiului AOB, deoarece stim ca

m\left(\widehat{AOB}\right)=4\cdot m\left(\widehat{BOC}\right)=4\cdot 26^{0}=104^{0}

Observati ca pentru a rezolva exercitiul de mai sus am folosit si suma masurii unghiurilor.

Din ipoteza problemei stim ca unghiurile AOB si BOC sunt adiacente, de unde am gasit ca au o semidreapta in comun, adica semidreapta [OB, dar interioarele disjuncte m\left(\widehat{AOB}\right)\neq m\left(\widehat{BOC}\right), iar bisectoarele celor doua unghiuri formeaza un unghi cu masura de 65^{0}

Deci pentru a ne verifica stim ca m\left(\widehat{DOB}\right)=m\left(\widehat{AOD}\right)=\frac{m\left(\widehat{AOB}\right)}{2}=\frac{26^{0}}{2}=13^{0}

Dar si m\left(\widehat{BOE}\right)=m\left(\widehat{EOC}\right)=    \frac{m\left(\widehat{BOC}\right)}{2}=\frac{104^{0}}{2}=52^{0}

Dar stim ca bisectoarele celor doua unghiuri formeaza un unghi cu masura de 65 grade.

m\left(\widehat{DOB}\right)+m\left(\widehat{BOE}\right)=    13^{0}+52^{0}=65^{0}

Deci se verifica.

Asadar, notiunea de unghi, dar si notiunea de unghi adicent, bisectoarea unui unghi constitue baza pentru notiunile pe care o sa le invatam in ani ce urmeaza, iar aceste notiuni ne ajuta in viata de zi cu zi, cand avem sa construim ceva, deci geometria ajuta mai tot timpul.

 

Probleme rezolvate cu cazuri particulare de paralelogram

Prezentam probleme rezolvate cu cazuri particulare de paralelogram pe care le-am studiat pana acum.

1. Consideram un paralelogram ABCD in care AC=2BD. Fie M si  N mijloacele segmentelor (AO) respectiv (CO), AC\cap BD=\left\{O\right\}. Aratati ca patrulaterul DMBN este dreptunghi.

Demonstratie:

probleme rezolvate cu dreptunghiuri

Observam ca DMBN este un patrulater convex

Dar din ipoteza stim ca [DO]\equiv[BO] (deoarece DB diagonala in paralelogramul ABCD, dar si diagonala in patrulaterul convex DMBN), de unde gasim ca [DO]\equiv[BO]

Dar din ipoteza stim ca AC=2\cdot BD

Dar si ca M\in (AO) astfel incat $[AM]\equiv[MO]$

Si N\in (CO) astfel incat [CN]\equiv[NO]

astfel avem ca MO=\frac{AO}{2}

Si NO=\frac{CO}{2}

Iar MN=MO+ON\Rightarrow \frac{AO}{2}+\frac{CO}{2}=\frac{AO+CO}{2}=\frac{AC}{2}

Deci daca citim inceputul si sfarsitul avem ca MN=\frac{AC}{2}\Rightarrow AC=2\cdot MN

Dar stim si ca AC=2\cdot BD

Deci obtinem ca 2MN=2BD\Rightarrow MN=BD

Deci obtinem ca diagonalele sunt congrunete

Iar de la teorema referitoare la diagonale intr-un dreptunghi obtinem ca DMBN dreptunghi.

Stim ca diagonalele intr-un dreptunghi sunt cogrunete.

Dar si reciproca este adevarat, adica :

Daca intr-un paralelogram diagonalele sunt congruente, atunci paralelogramul este dreptunghi.

2. Fie ABC un triunghi isoscel, [AB]\equiv[AC] si m simetricul lui A, fata de BC. Demonstrati ca ABMC  este romb.

Demonstratie :

rombul

Observam ca pentru inceput ABMC este un patrulater convex

Notam AM\cap BC=\left\{O\right\}

Dar stim ca M este simetricul lui A fata de BC, deci stim ca [AO]\equiv[OM]

Observam ca O este mijlocul segmentului BC, deci avem si ca [BO]\equiv[OC]

Deci obtinem ca diagonalele au acelasi mijloc si cu proprietatile reciproce referitoare la diagonale intr-un paralelogram, obtinem ca ABMC este paralelogram.

Stim ca AO este mediana in triunghiul isoscel ABC, dar cu proprietatea de la triunghiul isoscel obtinem ca AO este si inaltime, si mediatoare, si bisectoare.

Deci stim ca AM\perp BC si BC\perp AM

Iar cu teorema reciproca referitoare la diagonale intr-un romb avem:

Daca intr-un paralelogram diagonalele sunt perpendiculare, atunci paralelogramul este romb.

Deci stim ca ABMC paralelogram, dar stim si ca AM\perp BC si BC\perp AM, deci ABMC este romb.

3. Fie ABC un triunghi dreptunghic in A si (AD D\in BC este bisectoarea unghiului A. Paralela prin D la AB intersecteaza AC in punctul F, iar paralela prin D la AC intersecteaza AM in punctul E, aratati ca AEDF patrat.

Demonstratie:

conditia ca un paralelogram sa fie patrat

Observam ca AEDF este un patrulater convex, dar stim din ipoteza ca

DE||AC\Rightarrow DE||AF

Dar tot din ipoteza avem ca DF||AB\Rightarrow DF||AE

Deci cu definitia paralelogramului stim ca AEDF este paralelogram, dar tot in ipoteza stim ca m\left(\widehat{A}\right)=90^{0}

Stim ca paralelogramul cu un unghi drept se numeste dreptunghi, deci avem ca AEDF paralelogram m\left(\widehat{A}\right)=90^{0}, deci obtinem ca AEDF este dreptunghi.

Dar pentru a demonstra ca este patrat trebuie sa demonstram ca este si romb.

Stim din ipoteza ca AD este diagonala, dar diagonala AD este si bisectoare a unghiului \widehat{EAF} in paralelogramul AEDF, rezulta cu proprietatea referitoare la diagonale intr-un romb ca AEDF este romb

Teorema. Daca intr-un paralelogram diagonalele sunt bisectoare atunci paralelogramul este romb.

Cum

AEDF este si dreptunghi si romb rezulta ca AEDF este patrat.

Pentru cei care nu stiti definitia patratului

Paralelogramul care este si dreptunghi si romb se numeste patrat.

Deci, important pentru a rezolva problemele cu paralelograme, cat si cu paralelograme particulare sa cunoastem proprietatile acestora, dar mai mult sa le intelegem nu doar sa le memoram.

Trapezul

Dupa cum stim, patrulaterul convex pe care l-am invatat pana acum a fost paralelogramul.

Stim ca patrulaterul convex cu laturile doua cate doua paralele se numeste paralelogram.

In cadrul acestui articol o sa mai invatam inca un patrulater convex si anume trapezul.

Astfel patrulaterul convex care  doua laturi opuse paralele, iar celelalte doua neparalele  se numeste trapez.

trapezu

ABCD trapez daca si numai daca AB||CD si AD nu este paralela cu BC

Observatie! Laturile paralele ale trapezului se numesc baze, astfel la noi

[AB]- este baza mare

[CD]- baza mica

Iar distanta dintre cele doua baze se numeste inaltimea trapezului.

Trapezul se imparte in doua categorii:

– trapezul isoscel

– trapezul dreptunghic

Definitie:

Un trapez se numeste isoscel daca laturile neparalele sunt congruente

cum arata un trapez isoscel

Trapezul ABCD isoscel daca si numai daca AB||CD, AD nu este paralel cu BC si [AB]\equiv [BC]

Un trapez se numeste trapez dreptunghic, daca are una dintre laturile neparalele perpendiculare pe baze.

cum arata un trapez dreptunghic

ABCD trapez dreptunghic, daca si numai daca AB||CD si AD nu este paralele cu BC si AD\perp AB, adica m\left(\widehat{A}\right)=90^{0}

Dar trapezul isosce are si anumite proprietati particulare, astfel avem:

Teorema referitoare la unghirile alaturate unei baze :

Intr-un trapez isoscel unghiurile alaturate unei bazei sunt congrunete.

ABCD trapez isoscel, adica AB|| CD si AD nu este paralele cu BC, si [AD]\equiv [BC], rezulta si ca \widehat{A}\equiv\widehat{B}

Importanta este si reciproca teoremei, astfel:

Reciproca teoremei referitoare la unghiurile alaturate unei baze, avem:

Daca intr-un trapez unghiurile alaturatei baze sunt congruente, atunci trapezul este isoscel.

Aceasta reciproca putem sa o folosim pentri a rezolva unele probleme.

Teorema referitoare la diagonale :

Intr-un trapez isoscel diagonalele sunt congrunete.

cum sunt diagonalele intr-un trapez isoscel?

ABCD trapez isoscel, rezulta ca [AC]\equiv [BD], unde AC si BD sunt diagonale in trapez.

Iar reciproca teoremei este:

Daca intr-un trapez diagonalele sunt congrunete, atunci trapezul este isoscel.

ABCD trapez si [AC]\equiv [BD], atunci ABCD trapez isoscel.

Aplicatii:

1. In trapezul dreptunghic ABCD, AB>CD, m\left(\widehat{A}\right)=90^{0}, doagonala BD este bisectoarea unghiului ABC. Daca m\left(\widehat{ABC}\right)=60^{0} si BD= 36 cm.

a) demonstrati ca [BC]\equiv[CD]

b) Calculati lungimea segmentului [AD]

Demonstratie

cum aratam ca doua segmente sunt congruente

Stim ca BD este bisectoarea unghiului ABC, dar mai stim si ca m\left(\widehat{ABC}\right)=60^{0}

Astfel obtinem ca m\left(\widehat{ABD}\right)=m\left(\widehat{DBC}\right)=\frac{m\left(    \widehat{ABC}\right)}{2}=\frac{60^{0}}{2}=30^{0}.

Observam ca triunghiul ABD este dreptunghic in A, astfel stim ca m\left(\widehat{A}\right)=90^{0}, dar si m\left(\widehat{B}\right)=30^{0}

Deci in triunghiul ABD putem afla masura unghiului D m\left(\widehat{A}\right)+m\left(\widehat{B}\right)+m\left(\widehat{D}\right)=180^{0}\Rightarrow 90^{0}+30^{0}+m\left(\widehat{D}\right)=180^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{D}\right)=180^{0}-120^{0}=60^{0}

Deci stim ca m\left(\widehat{ADB}\right)=60^{0}

Dar stim ca in trapezul ABCD m\left(\widehat{ADC}\right)=90^{0}

Deci stim ca m\left(\widehat{ADB}\right)+m\left(\widehat{BDC}\right)=m\left(\widehat{ADC}\right)    \Rightarrow 60^{0}+m\left(\widehat{BDC}\right)=90^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{BDC}\right)=90^{0}-60^{0}=30^{0}

Deci in triunghiul BCD m\left(\widehat{CDB}\right)=m\left(\widehat{CBD}\right)=30^{0}

Deci obtinem ca triunghiul BCD este isoscel de baza BC, deoarece cu proprietatea de la triunghiul isoscel stim ca daca intr-un triunghi doua unghiuri sunt congrunete atunci triunghiul este isoscel.

Si astfel am demonstrat si ca [BC]\equiv [CD]

 

b)  Pentru a afla lungimea segmentului AD stim e mai sus ca triunghiul ADB este dreptunghic si m\left(\widehat{ABD}\right)=30^{0}

Deci putem afla lungimea segmentului AD cu Teorema 30-60-90

AD=\frac{BD}{2}=\frac{36}{2}=18\;\; cm

 

 

▪ Poziţiile relative ale unei drepte fata de un plan

Dupa ce ne-am reamintit pozitiile relative a doua drepte vine vremea sa discutam si notiunile de pozitiile relative ale unei drepte fata de un plan, astfel:

Consideram o dreapta d si un plan \alpha sunt posibile urmatoarele situatii:
– daca dreapta d are un singur punct in comun cu un plan, atunci, dreapta intersecteaza planul sau putem sa spunem ca dreapta inteapa planul sau dreapta d este secanta planului.
pozitia unei drepte fata de un plan
– daca dreapta d are doua puncte in comun cu un plan, atunci dreapta este inclusa in plan.
d\subset\alpha
dreata este inclusa in plan
– daca dreapta nu are nici un punct in comun cu un plan, atunci dreapta este paralela cu planul
cand o dreapta este paralela cu un plan
d||\alphasi d\cap\alpha=\phi
Teorema. Fie o dreapta d care nu este inclusa in planul $alpha$. Daca exista o dreapta a in planul \alpha, astfel incat d||a, atunci d||\alpha.
Teorema. Daca o dreapta d este paralela cu un plan \alpha. Iar un plan \beta contine dreapta d si intersecteaza planul \alpha, dupa o dreapta a, atunci drepata d este paralela cu dreapta a.
pozitiile unei drepte fata de un plan
1. Se considera prisma patrulatera regulata ABCA’B’C’. Stabiliti pozitiile urmatoarelor drepte fata de planele indicate
a)AA' si (ABC)
b) AA’ si (ABB’)
c) AA’ si (BCC’)
d) A’B’ si (ABC)
e) A’B’ si (BCC’)
f) AC’ si (B’BC)
Demonstratie:
a) AA'\cap (ABC)=\left\{A\right\}
Observam ca dreapta AA’ si planul (ABC) au un punct in comun, deci dreapta AA’ intersecteaza planul (ABC) sau cum am zis mai sus inteapa planul.
b) AA’ si (ABB’)
Observam ca AA’||BB’,deci AA’||(ABB’) dar observam ca prin punctul B\in (ABB'), ducem paralela la dreapta AA’, iar i aceste conditii AA'\subset\left(ABB'\right)

cand o dreapta este inclusa intr-un plan
c) AA’ si (BCC’)
Observam ca AA’|| CC’
Si conform teoremei de mai sus daca o dreapta este paralela cu o alta dreapta dintr-un plan, atunci dreapta este paralela cu planul
AA'|| (BCC')
care este pozitia relativa a unei drepte fata de un plan
d) A'B' si (ABC)
Observam ca A’B’|| AB
Stim ca AB\subset\left(ABC\right), deci obtinem ca A'B'||(ABC)
e)A’B’ si (BCC’)
Observam ca (BCC’)=(BB’C’)
Astfel A'B'\cap (BCC')=A'B'\cap (BB'C')=\left\{B'\right\}
Deci dreapta A’B’ intersecteaza planul in punctul B’.
Asadar este important sa cunoastem Pozitiile relative a unei drepte fata de un plan, deoarece constitue notiuni introductive pentru cele care vor fi introduse.

Unghiul a doua drepte in spatiu Drepte perpendiculare

Notiunea de unghi o cunoastem. Adica putem sa calculam masura unui unghi cand stim anumite notiuni in ipoteza unei probleme.

Stim ca unghiul este figura geometrica formata din doua semidrepte care au un singur punct in comun.

Dar noi, in acest articol, o sa discutam despre unghiul a doua drepte in spatiu, adica unghiul a doua drepte coplanare, dar si unghiul a doua drepte necoplanare.

Unghiul a doua drepte coplanare

Mai intai sa ne reaminti ce inseamna drepte coplanare: Dreptele colpanare sunt dreptele situate in acelasi plan (paralele, concurente, confundate)

fie d_{1} si d_{2} doua drepte in spatiu:

-Daca d_{1}||d_{2} sau d_{1}=d_{2}, atunci m\left(\widehat{d_{1}, d_{2}}\right)=0^{0}

-Daca d_{1}\cap d_{2}=\left\{O\right\}, atunci cele doua drepte formeaza in jurul punctului O patru unghiuri, doua cate doua opuse la varf, adica congrunete

Teorema. Doua unghiuri cu laturile respectiv paralele sunt congruente sau suplementare.

Unghiul a doua drepte decolpanare

Definitie: Prin unghiul a doua drepte in spatiu intelegem orice unghi ascutit sau drept cu varful in orice punct al spatiului.

Fie doua drepte necoplanare d si g

Construim unghiul dintre dreptele d si g astfel:

– mai intai consideram un punct oarecare O in spatiu

– ducem OA||g si OB||dcum calculam unghiul a dpua drepte in spatiu

astfel incat m\left(\widehat{AOB}\right)\leq 90^{0}

– unghiul dintre dreptele d si g este unghiul AOB

 

Definitie: Doua drepte se numesc perpendiculare daca  masuria unghiurilor lor este de  90^{0}.

Si scriem d_{1}\perp d_{2} si citim dreapta d_{1} este perpendiculara pe dreapta d_{2}

cand doua drepte sunt perpendiculare

Aplicatii:

 

Se considera cubul ABCDA’B’C’D’, Notam cu O si Q centrele fetelor ABCD respectiv BCC’B’. Determinati masuriile unghiurilor

a) m\left(\widehat{\left(D'O, AC\right)}\right)

b) m\left(\widehat{\left(D'O,BC'\right)}\right)

c) m\left(\widehat{\left(OQ, A'B'\right)}\right)

Demonstratie:

Mai intai realizam corpul geometric, adica cubul:

a) cum calculam unghiul a doua drepte in spatiu

Observam ca dreapta D’O intersecteaza AC in punctul O, deci dreptele sunt coplanare, acum sa aflam masura unghiului dintre cele doua drepte

m\left(\widehat{D'O, AC}\right)=m\left(\widehat{D'OA}\right)

Observam ca triunghiul AD’C este triunghi echilateral, deoarece AD’, D’C  si AC sunt diagonalele fetelor cubului si astfel obtinem AD'=D'C=AC=l\sqrt{2}

Deci D’O este mediana in triunghiul echilateral AD’C, ar cu proprietatea de la triunghiul echilateral obtinem ca D’O este si inaltime si astfel obtinem ca

m\left(\widehat{D'OA}\right)=90^{0}

b) m\left(\widehat{D'O, BC'}\right)

Observam ca BC’ si D’O sunt necoplanare, astfel gasim BC’||AD’

Si astfel obtinem unghiul dintre dreptele m\left(\widehat{D'O,AD'}\right)=m\left(\widehat{AD'O}\right\}=

Stim ca triunghiul AD’O este dreptunghic in O

Mai stim si ca AO este diagonala in patratul ABCD, astfel avem:

AO=\frac{l\sqrt{2}}{2}

AD’ la fel diagonala in patrat si astfel avem ca AD'=l\sqrt{2}

Iar D’O inaltime in triunghiul echilateral AD’C si stim ca DO=\frac{l\sqrt{3}}{2} ar cu teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0} obtinem ca in triunghiul AD’O , masura unghiului D’ este 30 de grade

m\left(\widehat{AD'O}\right)=30^{0}

cum calculam unghiul a doua drepte in spatiu

c) m\left(\widehat{OQ,A'B'}\right)

Stim din ipoteza ca O este centrul patratului ABCD, deci se afla la intersectia diagonalelor, adica mijlocul diagonalelor, la fel si Q este punctul de intersectie in patratul BCC’B’, deci tot la mijlocul diagonalelor, astfel observam OQ este linie mijlocie in triunghiul ACD’

Astfel cu teorema de la linia mijlocie obtinem ca OQ=\frac{DD'}{2}

Dar si OQ||DD'

Astfel unghiul devine

c) m\left(\widehat{OQ,A'B'}\right)=m\left(\widehat{DD', A'B'}\right)

Dar observam ca in cub DD’||AA’

Si unghiul devine m\left(\widehat{DD', A'B'}\right)=m\left(\widehat{AA', A'B'}\right)=m\left(\widehat{AA'B'}\right)=45^{0}

Observam ca triunghiul AA’B’  este dreptunghic isoscel, deoarece fetele laterale sunt patrate, iar o diagonala a patratului  imparte patratul in doua  triunghiuri dreptunghice isoscele.

ungiul a doua drepte in spatiu

Aproximari ale numerelor reale

Despre numere reale am mai discutat dar si despre aproximari. Stim inca din clasele mai mici sa aproximam numerele rationale, prin lipsa sau prin adaos la zecimi, sutimi, dar si miimi.

Acum este forte important sa intelegem cum efectuam aproximari ale numerelor reale, dar si mai important sa stim sa aproximam numerele reale, dar si sa le rotunjim.

Aceste aproximari ale numerelor reale, dar si rotunjiri apar mai tot timpul in viata de zi cu zi.

Daca avem sa aproximam numarul cu o unitate prin adaos, la zecimi, sutimi sau miimi, marim numarul atunci cu o unitate

Daca consideram de exemplu numarul real \sqrt{3}\approx 1,7320

Aproximam mai intai la o unitate , astfel avem 1,7320\approx 2

daca aproximam prin adaos numarul cu o zecime obtinem 1,7320\approx 1,8 (deoarece 7 este zecimea am marit zecimea cu o unitate)

Daca aproximam numarul prin adaos la o sutime obtinem:

1,7320\approx 1,74 (deoarece 4 este sutimea am marit numrul cu o unitate)

Dar si daca aproximam numarul prin adaos la o miime obtinem:

1,7320\approx 1,733

IAr aproximare prin lipsa la o zecime, sutimie sau miime ramane aproximativ neschimbata, astfel:

Aproximare prin lipsa la o unitate a numarului 1, 7320 este 1,7320\approx 1

Aproximare prin lipsa la o zecime a numarului 1,7320 este: 1,7320\approx 1,7

Aproximare prin lipsa la o sutime a numarului 1,7320 este: 1,7320\approx 1,73

Aproximare prin lipsa la o miime a numarului 1,7320 este: 1,7320\approx 1,732

Dar daca avem uun numar negativ, atunci aproximare prin lipsa sau adaos se realizeaza astfel:

Daca de exemplu avem numarul: -3,223\approx -4 (aproximarea cu o unitate prin lipsa se efectueaza la numarul mai mic) -3,223\approx -3,3 (aproximarea cu o zecime prin lipsa se efectueaza la fel la numarul mai mic) -3,223\approx -3,23 (aproximarea cu o sutime prin lipsa se efectueaza prin adaugarea unei sutimi)

-3,223\approx -3,224(aproximare cu o miime prin lipsa se efectueaza prin adaugarea unei miimi)

Deoarece aproximarea se face prin lipsa si astfel trebuie sa obtinem un numar mai mic.

Acum daca efectuam aproximare prin adaos a numarului de mai sus obtinem:

-3,223\approx-3 (deoarece la aproximarea prin adaos trebuie sa obtinem un numar mai mare)

-3,223\approx -3,2(observam ca in cazul aproximarii prin adaos cifrele corespunzatoare raman neschimbate)

-3,223\approx -3,22(aproximarea prin adaos la o sutime)

-3,223\approx -3,223(aproximarea prin adaos la o miime)

Daca intr-un exercitiu ni se cere sa efectuam rotunjirea numerelor respective procemda astfel:

– daca ni se cere sa aproximam la zecimi, ne uitam ce cifra urmeaza upa zecime, adica sutimea, iar daca avem una din ormatoarele cifre: 0, 1, 2, 3, 4, atunci numarul se rotunjeste la cel mai mic, dar daca dupa zecime avem una din cifrele: 5, 6, 7, 8, 9, atunci rotunjim numarul la cel mai mare in functie de cerinta pe care o avem

Exemplu:

Rotunjiti la cel mai apropiat intreg:

a) 2,73\approx 3(am rotunjit numarul la 3, deoarece observam ca dupa virgula avem cifra 7 si deci trebuie sa rotunjim la numarul mai mare)

b) 3,07\approx 3 (am rotunjit numarul la cel mai mic deorece dupa virgula avem cifra 0 si deci la cel ami apropiat)

c) -3,057\approx -3 si astfel am  obtinut aproximarea la cel mai apropiat intreg.

 

Dreapta perpendiculara pe un plan distanta de la un punct la un plan

Despre o dreapta perpendiculara pe o alta dreapta am mai invatat, dar  despre dreapta perpendiculara pe un plan inca nu si nici sa calculam distanta de la un punct la un plan. Dar am invatat sa calculam distanta de la un punct la o dreapta, astfel incepem prin a defini notiunile de dreapta perpendiculara pe un plan, dar si distanta de la un punct la un plan.

Definitie: O drepata d se numeste perpendiculara pe un plan \alpha daca este perpendiculara pe toate dreptele incluse in planul \alpha.

Si scriem d\perp\alpha\Leftrightarrow d\perp a, \forall a\subset\alpha

Teorema. Daca o dreapta este perpendiculara pe doua drepte concurente dintr-un plan atunci dreapta este perpendiculara pe plan, adica

dreapta perpendiculara pe un plan

 

 

 

a, b\subset\alpha

 

a\cap b=\left\{O\right\}

 

d\perp a, d\perp b\Rightarrow d\perp\alpha, c\subset \alpha\Rightarrow d\perp c

 

Acum sa vedem cum calculam distanta de la un punct la un plan.

Stim din clasele mai mici ca distanta de la un punct la o dreapta este piciorul perpendicularei din punctul dat pe dreapta.

Dar acum avem sa calculam distanta de la un punct la un plan:

Fie A un punct si \alpha un punct in sptatiu, A\notin \alpha si O piciorul perpendicularei duse din A pe planul \alpha, atunci distnata de la punctul A la planul \alpha este  lungimea segmentului AO.

Adica d\left(A, \alpha\right)=AO segmentul AO este cel mai scurt dintre toate segmentele care unesc punctul A cu planul \alpha

cum calculam distanta de la un punct la un plan

Dar daca A\in \alpha, atunci d\left(A,\alpha\right)=0

Aplicatii:

Fie ABCDA’B’C’D’ un cub cu latura de 4 m. Aflati

a) d\left(B, (A'AD)\right)

b) d\left(B,(ACC')\right)

Demonstratie:

a) Stim ca distanta de la un punct la un plan este piciorul perpendicularei din punctul dat pe plan, astfel

distanta de la un punct la un plan

BA\perp AD, cum

AD\subset \left(ADD'\right), deci obtinem ca

BA\perp\left(A'AD\right)

Astfel avem: d\left(B,(A'AD)\right)=BA=4\;\; cm

b) Acum ca sa calculam distanta de la B la planul ACC’, mai intai construim dreapta.

Observam ca BO\perp AC, dar stim ca AC\subset\left(ACC'\right), deci BO\perp\left(ACC'\right) si gasim ca distanta de la punctul b la planul ACC’ este dreapta BO, unde O este punctul de intersectie al diagonalelor.

AC\cap BD=\left\{O\right\}

problema rezolvata distanta de la un punct la un plan

 

Acum sa vedem cum aflam BO, stim ca triunghiul ABD este dreptunghic isoscel, deci avem ca AB=BC=4 cm, acum putem afla ipotenuza AC, daca aplicam teorema lui Pitagora AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}\Rightarrow AC^{2}=4^{2}+4^{2}\Rightarrow AC=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\;\; cm

Acum pentru afla BO, stim ca este si inaltime astfel in triunghiul dreptunghic ABC, aplicam Teorema inaltimii  BO=\frac{AB\cdot BC}{AC}=\frac{4\cdot 4}{4\sqrt{2}}^{(4}=\frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}\;\; cm.

Deci avem ca d\left(B,(ACC')\right)=BO=2\sqrt{2}\;\; cm.

 

 

Operatii cu intervale

Ce operatii putem sa efectuam cu ajutorul intervalelor?

Daca consieram ca avem doua multimi A si B, putem sa calculam reuniunea celor doua multimi, intersectia celor doua multimi, dar si diferenta celor doua multimi.

La fel ca si la operatiile  celor doua multimi putem sa efectuam aceste operatii si la intervale, astfel sa ne reamintim ce inseamna reuniunea, intersectia si diferenta a doua multimii.

Astfel reuniunea a doua multimi este:

A\cup B=\left\{x\in R|x\in A\;\;sau\;\;\; x\in B\right\} (la reuniunea a doua multimi luam elementele comune si necomune din cele oua multimi)

Intersectia a doua multimi este:

A\cap B=\left\{x\in R|x\in A\;\; si\;\; x\in B\right\} (la intersectia a oua multimi luam elementele comune din ambele multimi)

IAr diferenta a doua multimi este:

A-B=\left\{x\in R|x\in A\;\; si\;\; x\notin B\right\}(la diferenta a doua multimi luam elementele care sunt intr-o multime si nu sunt in alta).

Aplicatii:

1. Determinati multimile: a, B, A\cap Z, B\cap N

unde A=\left\{x\in R|x-2\leq 1\leq x+3\right\}

Si B=\left\{x\in R||x|\geq 2\right\}

Solutie

Mai intai afla ce elemente are multimea A sau intervalul in care x ia valori

Astfel avem inegalitatea x-2\leq 1\leq x+3

Pentru inceput consideram inegalitatea x-2\leq 1

Dar si 1\leq x+3

Aum rezolvam inecuatiile x-2\leq 1\Rightarrow x\leq 1+2\Rightarrow x\leq 3

Si dupa notiunile pe care le-am invatat de la definirea intervalelor, mai sus am obtinut intervalul nemarginit la stanga si marginit la dreapta

x\in (-\infty; 3]

Dar acum avem sa calculam si inegalitatea

1\leq x+3\Rightarrow 1-3\leq x\Rightarrow -2\leq x

Si obtinem intervalul x\in [-2;+\infty)

Acum ca sa aflam multimea A sau intervalul A calculam intersectia celor doua intervale, adica (-\infty;3]\cap [-2; +\infty)=[-2;3]

cum calculam intersectia a diua intervale

Deci A=[-2; 3]

Acum sa aflam intervalul B

stim ca |x|\geq 2

Trebuie sa stim ca  pentru inceput x\leq -2\Rightarrow x\in (-\infty; -2]

Dar si x\geq 2\Rightarrow x\in [2; +\infty)

Astfel pentru a afla ce elemente are multimea B, calculam reuniunea celor doua intervale si obtinem (-\infty; -2]\cup [2; +\infty)

Acum calculam A\cap Z=[-2;3]\cap Z=\left\{-2; -1; 0; 1; 2; 3\right\}

Acum pentru a calcula B\cap N=\left[(-\infty; -2]\cup [2; +\infty)\right]\cap N=[2; +\infty)=\left\{2; 3; 4; 5;....\right\}

Inmultirea numerelor rationale pozitive

Cum inmultim doua numere rationale dar si cum impartim doua numere rationale o sa invatam in cadrul acestui articol.

De inmultit am mai inmultit doua numere rationale in clasa a v-a dar doar cand aveam fractii zecimale, acum o sa invatam sa inmultim doua fractii ordinare.

Astfel daca avem fractiile:

\frac{a}{b} si \frac{c}{d} cu a, b, c, d\in Z, b\neq 0, d\neq 0, atunci inmultirea celor doua fractii se efectueaza astfel:

\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{\cdot c}{b\cdot a} (adica inmultim numarator cu numartoar si numitorul cu numitorul).

Inmultirea numerelor rationale are anumite proprietati care ne ajuta in rezolvatea exercitiilor:

– este comutativa: a\cdot b=b\cdot a, unde a si b sunt numere rationale

– este asociativa:a\cdot\left(b\cdot c\right)=\left(a\cdot b\right)\cdot c

– 1 este elementul neutru
– inmultirea este distributiva fata de adunare

a\cdot\left(b+c\right)=a\cdot b+a\cdot c
– orice numar artional a\neq 0 are un invers, egal cu \frac{1}{a}, notat a^{-1}, adica a^{-1}=\frac{1}{a}

Observatie. In cazul in care avem doua fractii zecimale le inmultim asa cum am invatat in clasa a v a, dar in cazul in care avem de inmultit o fractie ordinara cu o fractie zecimala, fie transformam fractia ordinara in fractie zecimala si inmultim ca mai sus, fie transformam fractia zecimala in fractie ordinara.

Daca avem de impartit doua fractii periodice, atunci transformam fractiile periodice in fractii ordinare.

Exercitii:

1. Calculati:

a) \left(\frac{4}{-9}\right)\cdot\left(\frac{-12}{8}\right)

In cazul de fata cum avem operatie de inmultire mai intai ne uitam daca nu putem sa simplificam fractiile pentru a ne simplifica calculele:

Astfel daca simplificam a doua fractiei prin 4 obtinem

\left(\frac{4}{-9}\right)\cdot\left(\frac{-12}{8}^{(4}\right)=\left(\frac{4}{-9}\right)\cdot\left(\frac{-3}{2}\right)

Dar daca mai simplificam si pe diagonala prin -3 obtinem

\left(\frac{4}{-9}\right)\cdot\left(\frac{-3}{2}\right)=\left(\frac{4}{3}\right)\cdot\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{4\cdot 1}{3\cdot 2}=\frac{4}{6}^{(2}=\frac{2}{3}

b) (-4,2)\cdot 0,45=0,45\cdot\left(-4,2\right)=

In cazul inmultirii acestor doua numere rationale inmultim fractiile zecimale dupa cum am invatat, dar mai intai stabilim semnul produsului adica – si efectuam inmultirea:

cum inmultim doua fractii zecimale
c) 0,(4)\cdot 7,(3)=\frac{4}{9}\cdot \frac{73-7}{9}=\frac{4}{9}\cdot\frac{66}{9}^{(3}=\frac{4}{9}\cdot\frac{22}{3}=\frac{4\cdot 22}{9\cdot 3}=\frac{88}{27}

In cazul inmutirii numerelor rationale de mai sus, mai intai am transformat fractiile periodice simple in fractii ordinare, apoi am simplificat, dupa care am efectuat inmultirea fractiilor ordinare.

Observatie in cazul in care avem sa inmultim un numar natural cu un numar rational, de exemplu fractie inmultim numarul natural cu numaratorul, adica
fie n un numar natural si fi \frac{a}{b} fractia, atunci produsul dintre numarul natural n si fractia de mai sus este:

n\cdot \frac{a}{b}=\frac{n\cdot a}{b}
Exemplu: 2\cdot\frac{5}{7}=\frac{2\cdot 5}{7}=\frac{10}{7}
Asadar ca sa inmutim corect numerele rationale trebuie sa invatam regulile prezentate mai sus.