Tetraedrul

Ce este tetraedrul?

Poate ati auzit de el dupa ce ati invatat piramida.

Trebuie sa stim ca tetraedrul este corpul geometric cu cel mai mic numar de fete.

Astfel daca consideram patru puncte necoplanare pe care le unim obtinem corpul geometric cu cel mai mic numar e fete, adica:

cand patru puncte sunt necoplanare

astfel daca unim cele patru puncte necoplanare obtinem corpul geometric numit tetraedru.

tetraerul

Segmentele:

[AB], [BC], [CD], [DA], [BD], [AC] se numesc muchiile tetraedrului

iar triunghiurile ABC, ACD, ABD, BCD se numesc fetele tetraedrului.

Reuniunea acestor fete formeaza suprafata tetraedrului.

Dar important pentru problemele care o sa le rezolvam e sa stim ce inseamna tetraedru regulat.

Definitie: Un tetraedru se numeste regulat daca are toate muchiile congrunete.

Adica ABCD tetraedru regulat, daca AB=BC=CD=DA=BD=AC, mai mult toate fetele tetraedrului sunt triunghiuri echilaterale.

Aplicatii:

Tetraedrul regulat ABCD are muchia de 6 cm, notam cu M si N mijloacele segmentelor AB si AC.

a) Demonstrati ca MN\perp AB si MN\perp CD

b) Calculati lungimea segmentului MN

cum aratam ca o dreapta este perpendiculara pe o alta dreapta

Ca sa demonstram ca MN este perpendiculara pe AB, construim

BN\perp CD in triunghiul BCD.

Si in triunghiul ACD unim punctul A cu punctul N, care este mijlocul segmentului BC, deci AN mediana, dar cum triunghiul ACD echilateral, rezulta ca AN este si inaltime (acest lucru rezulta de la proprietatea triunghiului echilateral), deci  obtinem AN=\frac{l\sqrt{2}}{3}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\;\; cm

Astfel stim ca triunghiul BCD este triunghi echilateral, deci putem afla inaltimea h_{\Delta BCD}=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}

Deci obtinem ca AN=BN=3\sqrt{3}

deci triunghiul ANB este isoscel de baza AB, din ipoteza stim ca M este mijlocul lui AB, deci MN este mediana, dar cu proprietatea de la triunghiul isoscel (intr-un triunghi isoscel mediana, mediatoarea, inaltimea si bisectoarea corespunzatoare bazei coincid), deci stim ca MN este mediana, dar si inaltime, adica MN\perp AB

Acum ca sa aratam ca MN este perpendicular pe CD , construim acum:

Acum ca sa aratam ca MN este perpendicular pe CD, in triunghiul ABC unim mijlocul segmentului AB cu punctul C, si cu triunghiul ABC este echilateral obtinem ca CM este si inaltime si obtinem CM=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}

Dar si in triunghiul ABD unim varful triunghiului D cu mijlocul laturii AB si obtinem MD=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}

Deci triunghiul MCD este isocel si N mijlocul lui CD, adica mediana, dar cu proprietatea de la triunghiul isoscel rezulta ca MN este si inaltime, adica MN\perp CD

cum aratam ca doua drepte sunt perpendiculare

b) Ca sa aflam lungimea segmentului MN, in triunghiul dreptunghic MND aplicam teorema lui Pitagora, deoarece stim ca CN=ND=\frac{CD}{2}=\frac{6}{2}=3

Iar MC il stim de mai sus si obtinem

MN^{2}=MC^{2}-CN^{2}\Rightarrow MN^{2}=\left(3\sqrt{3}\right)^{2}-3^{2}\Rightarrow MN=\sqrt{27-9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}

Deci e important sa stim toate notiunile in legatura cu tetraedru, dar si notiunile de geometrie plana, adica teoremele care le-am invatat pana acum.

Segment Lungimea unui segment Segmente congruente

Cum definim notiunea de segment?

Cum calculam lungimea unui segment?

Dar si cand doua segmente sunt congruente, sunt notiuni care le invatam in acest articol!

Dar mai ales cum ne ajuta notiunea de segmente congrunete ?

Incepem prin a definii notiunea de de segment deschis.

Segmentul deschis determinat de doua puncte A si B se noteaza (AB) si este intersectia dintre semidreapta dewchisa (AB si semidreapta deschisa (BA, adica (AB\cap (BA=(AB)

cum arata un segment deschis

Punctele A si B se numesc extremitatile  segmentului, iar in cazul segmentului deschis, nu apartin acestuia.

Punctele care apartin segmentului deschis (AB) se numesc puncte interioare, iar cele care nu apartin acestuia se numesc exterioare intervalului.

Daca la segmentul deschis (AB) adaugam si extremitatile acestuia obtinem segmentul inchis [AB]

Adica

(AB)\cap \left\{A, B\right\}=[AB]

pozitia unui punct fata de un segment deschis

Observatie: Fiecarui numar ii corespunde un numar care se numeste lungimea segmentului.

Doua segmente se numesc congrunete daca au aceiasi lungime.

In probleme, segmentele congrunete se marcheaza la fel, pentru a fi recunoscute mai usor.

Cum notam doua segmente congrunete?

Consideram segmentele AB si CD de aceiasi lungime, astfel scriem ca segmentul inchis AB este congruent cu segmentul inchis CD si notam

[AB]\equiv[CD]\Leftrightarrow AB=CD

Aplicatii

1. Daca A, B, C, D  sunt patru puncte coliniare in aceasta ordine si [AB]\equiv[BC]\equiv[CD] si BD=48 mm, aflati lungimile segmentelor [AC] si [AD].

Demonstratie:

Mai intai efectuam figura, astfel avem:

segmente congruente

Stim ca BD=48 mm, dar mai stim si ca [BC]\equiv[CD]\Rightarrow BC=CD=x

Dar BD=BC+CD\Rightarrow 48 mm=x+x\Rightarrow 48=2x\Rightarrow x=24\;\; mm

Cum stim x stim si ca BC=CD=24\;\; mm

Iar acum putem sa aflam si AB, deoarece AB=BC=CD, obtinem ca AB=24 mm (segmentele sunt toate trei congrunete)

Dar acum sa aflam AC si AD

Astfel AC=AB+BC\Rightarrow AC=24+24=48\;\; mm

Iar AD=AB+BC+CD=48+24=72\;\; mm

 

AC=AB+BC+CD

 

2. Daca A, B, C, D  sunt patru puncte coliniare in aceasta ordine astfel incat

BC=\frac{AB+CD}{2} si AB=\frac{BC+CD}{2}, aratati ca [BC]\equiv [AB]

Ca sa rezolvam problema mai intai realizam figura, astfel :

probleme rezolvate cu segmente

Stim ca BC=\frac{AB+CD}{2}|\cdot 2\Rightarrow 2BC=AB+CD

Observati ca am inmultit egalitatea de mai sus in ambii membri cu 2 si astfel am obtinut ca suma segmentelor extreme este de doua ori mai mare decat BC, dar ami avem si

AB=\frac{BC+CD}{2}|cdot 2\Rightarrow 2AB=BC+CD

Acum daca scadem din prima relatie pe cea de-a doua obtinem

2BC-2AB=AB+CD-\left(BC+CD\right)\Rightarrow 2BC+2AB=AB+CD-BC-CD\Rightarrow 2BC-2AB=AB-BC\Rightarrow 2BC+BC=2AB+AB\Rightarrow 3BC=3AB|:3\Rightarrow BC=AB

Deci obtinem ca cele doua segmente au aceiasi lungime si deci sunt congrunete [BC]\equiv[AB]

Asadar este foarte important sa stim notiunea de segment, cum notam un segment, dar si cand doua segmente sunt congruente, deoarece sunt notiuni esentiale in rezolvarea problemelor de geometrie si sunt notiuni de baza pe care o sa le folosim mai tot timpul.

 

Patratul si cubul unui numar natural Patrate perfecte

Patratul si cubul unui numar natural este o lectie introductiva in  care o sa inavatam care sunt patratele si cuburile unor numere naturale, dar si cum sa efectuam anumite exercitii care pana acum ni se pareau imposibile.

De preferat e sa invatam patratele perfecte si notiunile teoretice, deoarece ne ajuta in rezolvarea exercitiilor:

Puterea a doua a unui numar natural n, adica n^{2} se  numeste patratul numarului n s citim n la patrat.

Putera a treia a unui numar natural n , adica n^{3} se numeste cubul numarului n si se citeste n la cub.

Un patrat perfect este patratul unui numar natural.

Pentru  a stii care numere sunt patrate perfect este esential sa stim ca ultima cifra a unui patrat perfect poate fi 0, 1, 4, 5, 6, 9.

De unde gasim si o metoda de a arata cand un numar este patrat perfect sau nu.

Astfel, daca ultima cifra este diferita de: 0, 1, 4, 5, 6, 9, atunci numarul nu este patrat perfect sau mai putem spune ca daca ultima cifra a unui numar este 2, 3, 7 sau 8, atunci numarul nu este patrat perfect.

Pentru a afla ultima cifra a unui numar trebuie sa tinem cont de urmatoarele reguli:

Fie x un numar natural. Notam cu U(x), ultima cifra a unui numar natural.

U\left(x+y\right)=U\left(U\left(x\right)+U\left(y\right)\right)

Dar si U\left(x\cdot y\right)=\left(U\left(x\right)\cdot U\left(y\right)\right)

Mai mult: U\left(x^{n}\right)=U\left[\left(U\left(x\right)\right)^{n}\right]

Aplicatii

Aratati ca urmatorul numar este patrat perfect:

2010^{2}-2010-2009 este patrat perfect.

Ca sa aratam ca numarul este patrat perfect observam mai intai ca intre primii doi termeni putem da factor comun numarul 2010, 2010\left(2010-1\right)-2009=2010\cdot 2009-2009

Acum daca dam din nou factor comun intre termenii ramasi numarul 2009 obtinem: 2009\cdot\left(2010-1\right)=2009^{2} deci numarul de mai sus este patrat perfect.

2. Aratati ca urmatoarele numere nu sunt patrate perfecte:

2^{1981}

Pentru a demonstra ca numarul nu este patrat perfect calculam ultima cifra a numarului , astfel avem: U\left(2^{1981}\right)=U\left[\left(U\left(2\right)\right)^{1981}\right]=U\left(2^{1981}\right)

Acum calculam 1981:4=495 rest 1.

Astfel numarul devine U\left(2^{1981}\right)=U\left(2^{1}\right)=2

Cum ultima cifra a numarului este 2, rezulta ca numarul nu este patrat perfect.

Am impartit exponentul la 4, deoarece ultima cifra pentru puterile lui 2, 3, 7, si 8 este dupa resturile ce se obtin prin impartirea exponentului acestei puteri prin 4.

b) 97^{143}

Ca sa aratam ca numarul nu este patrat perfect calculam mai intai ultima cifra anumarului 97: U\left[\left(U\left(97\right)\right)^{143}\right)=U\left(7^{143}\right)=

Apoi ridicam numarul la cub, sau cum am facut mai sus am riicat mai intai numarul la patrat si l-am inmulti cu el insusi, ca sa invatam cum sa calculam si ultima cifra cand avem produs.

=U\left(7^{3}\right)=U\left(7^{2}\cdot 7\right)=U\left(U\left(7^{2}\right)\cdot U\left(7\right)\right)=U\left(U\left(49\right)\cdot U\left(7\right)\right)=U\left(9\cdot 7\right)=U\left(63\right)=3

Cum ultima cifra a numarului de mai sus este 3, obtinem ca numarul nu este patrat perfect.

Ultima cifra a numarului putem sa o calculam si astfel:

U\left(7^{3}\right)=U\left(243\right)=3

Cum la fel ca si mai sus ultima cifra este 3, rezulta ca numarul nu este patrat perfect.

Divizorii comuni a doua sau mai multe numere naturale C.m.m.d.c

Cum aflam cel mai mare divizor comun a doua sau mai multe numere naturale?
Cum stim daca doua numere sunt prime intre ele?
Sunt intrebari pe care ni le punem atunci cand auzim notiunea de divizori comuni a doua sau mai multe numere naturale, dar si cum calculam cel mai mare divizor comun a doua numere naturale
Mai mult in cadrul acestui articol o sa invatam sa gasim cand doua numere naturale sunt prime intre ele.

Astfel pentru a calcula cel mai mare divizor comun a doua sau mai multe numere naturale proceam astfel:
– descompunem numerele in produs de factori primi
– apoi ca sa aflam cel mai mare divizor comun a doua sau mai multe numere naturale luam factorii primi comuni o singura data la putera cea mai mica la care apar.
Dar exista si numere naturale al caror cel mai mare divizor comun este 1, aceste numere se numesc prime intre ele.
Cel mai mare divizor comun il prescurtam c.m.m.d.c
Iar cand calculam c.m.m.d.c a doua numere a si b il notam cu (a, b).
Exemple

1. Calculati:
a) (24; 28)
Mai intai descompunem numerele in produs de factori primi:
cum descompuenm numerele in produs de factori primi

Astfel obtine
24=2^{3}\cdot 3\cdot 1
Si
28=2^{2}\cdot 7\cdot 1
Acum ca sa calculam c.m.m.d.c luam factorii comuni o singura data la puterea cea mai mica, adica:
(24, 28)=2^{2}\cdot 1=4\cdot 1=4
b) (120; 180)
descompunerea numerelor in produs de factori primi
Astfel 120=2^{3}\cdot 3\cdot 5

Dar si 180=2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5

Iar cel mai mare divizor comun al celor doua numere este:

(120, 180)=2^{2}\cdot 3\cdot 5=4\cdot 3\cdot 5=12\cdot 5=60

c) (115, 46, 529)

La fel ca si mai sus descompunem numerele in produs de factori primi, adica:

cum descompunem numerel in produs de factori primi

Astfel avem ca

115=5\cdot 23\cdot 1

Mai avem si ca 46=2\cdot 23

dar si 529=23^{2}

Acum avem sa calculam cel mai mare divizot comun a trei numere naturale astfel obtinem:

(115, 46, 529)=23\cdot 1=23

d) (32, 63)

Mai intai descompunem numerele in produs de factori primi

cum aflam cel mai mare divizor comun a doua sau mai multe numere naturale

Astfel obtinem:

32=2^{5}\cdot 1

Si

63=3^{2}\cdot 7\cdot 1

Iar pentru a afla cel mai mare divizor comun al numerelor luam factorii comuni o singura data la puterea cea mai mica (32, 63)=1, adica numerele sunt prime, cel mai mare divizor natural a celor doua numere este 1, adica 1 este singurul numar comun la care se poate imparti fiecare numar.

Orice numar natural compus se poate descompune in produs de numere prime distince, iar scrierea numerelor compuse in produs de numere prime se numeste descompunerea in factori primi si este unica.

Ca sa stim sa descompunem numerele naturale in produs de factori primi trebuie sa stim criteriile de divizibilitate, dar si care sunt numerele prime si care sunt numerele compuse.

Aducerea fractiilor la acelasi numitor

Pana in acest moment am invatam sa adunam, si sa scadem doua fractii care au acelasi numitor. Iar acum o sa invatam despre aducerea fractiilor la acelasi numitor. Aceasta notiune o sa ne ajute atunci cand o sa invatam sa calculam doua sau mai multe fractii care nu au acelasi numitor.

Pentru a aduce doua sau mai multe fractii la acelasi numitor comun procedam astfel:

– mai intai aflam cel mai mic multiplu comnu al numitorilor fractiilor (se descompun numerele in produs de factori primi si se iau factorii comuni o singura data la puterea cea mai mare)

– apoi calculam catul dintre numitorul comun si numitorul fractiei respective

– apoi amplificam fiecare fractie cu catul corespunzator.

Exemple:

1. Aduceti fractiile la acelasi numitor

a) \frac{5}{12}, \frac{1}{96}, \frac{7}{48}

Mai intai aflam cel ami mic multiplu comun al numitorilor: mai intai despcompunem numitorii in produs de factori primi:

cum aducem fractiile la acelasi numitor comun

Astfel

12=2^{2}\cdot 3

Dar

96=2^{5}\cdot 3

Si

48=2^{4}\cdot 3

Acum calculam

[12, 96, 48]=2^{5}\cdot 3=32\cdot 3=96

Iar daca amplificam fractiile obtinem

^{8)}\frac{1}{12}=\frac{8\cdot 1}{96}=\frac{8}{96}

Observati ca numitorul comun al fractiilor este 96, iar fractia de mai sus am amplificat-o cu  8 (deoarece am impartit 96:12=8)

^{1)}\frac{1}{96}=\frac{1\cdot 1}{96}=\frac{1}{96}

La cea de-a doua fractie stim ca numitorul comun este 96, iar numitorul comun al celor trei fractii este 96, deci amplificam fractia cu 1

^{2)}\frac{7}{48}=\frac{2\cdot 7}{96}=\frac{14}{96}

Iar cea dea treia fractie am amplificat-o cu 2, deorece am impartit numitorul comun la 48.

b) \frac{50}{20}, \frac{140}{40}

Numitorul comun a celor doua fractii este:

aducerea fractiilor la acelasi numitor

Astfel

20=2^{2}\cdot 5

Dar si

40=2^{3}\cdot 5

Si numitorul comun al fractiilor este

[20,40]=2^{3}\cdot 5=8\cdot 5=40

Iar prima fractie

^{2)}\frac{50}{20}=\frac{2\cdot 50}{40}=\frac{100}{40}

Dar si

^{1)}\frac{140}{40}=\frac{1\cdot 140}{40}=\frac{140}{40}

 

Cilindrul

Cilindrul face parte din categoria corpurilor rotunde.

Este foarte important sa invatam sa calculam volumul unui cilindru, dar si aria totala si aria laterala, deoarece ne ajuta foarte mult in activitatile zilnice. Daca de exemplu aveti sa calculati volumul unui copac, observam ca putem sa-l asemanam cu un cilindru, pentru care trebuie sa stim diametrul copacului, dar si inaltimea.

Sau daca de exemplu pe strada voastra se sapa un sant ca sa se introduca o conducta  si stiti ca conducta are raza de 10 cm. Iar inginerul de santier doreste sa stie ce cantitate de pamant ramane dupa ce va acoperi conducta.

Asadar toate aceste aplicatii practice pot fi rezolvate cu ajutorul notiunilor teoretice e la cilindru.

Mai intai incepem prin a prezenta elementele unui cilindru

– bazele doua cercuri congrunete aflate in plane paralele

C\left(O, R\right) si C^{'}\left(O^{'}, R\right)

Cum stim ca baza cilindrului este un cerc, putem sa-i aflam aria bazei, adica

A_{b}=\pi R^{2}, unde R este raza.

– inaltimea cilindrului este egala cu distanta dintre cele doua baze si se noteaza cu h=OO’

– Generatoarea G, care in cazul cilindrului circular drept este egala cu inaltimea cilindrului.

elementele componente ale unui cilindru

Observatie drepata OO’ determinata de centrele celor doua baze este axa de simetrie, adica simetricul oricarui punct al cilindrului fata de aceasta dreapta este tot un punct al cilindrului.

Aria laterala a cilindrului circular drept este egala cu aria suprafetei laterale si se calculeaza cu formula

A_{l}=P_{b}\cdot h=2\pi R\cdot h=2\pi R G

Aria totala este egala cu suma dintre aria laterala si suma ariilor celor doua baze.

A_{t}=A_{l}+2cdot A_{b}=2\pi R G+2\cdot \pi R^{2}=2\pi R\left(G+R\right)

Iar volumul este egal cu produsul dintre aria bazei si inaltime:

V=A_{b}\cdot h=\pi R^{2}\cdot h=\pi R^{2}\cdot G

In foarte multe probleme apare notiunea de sectiune axiala si sectiune paralela cu baza

Sectiunea axiala in cilindru circular drept este obtinuta prin sectionarea cilindrului cu un plan care contine axa de simetrie a acestuia, adica sectiunea axiala este dreptunghiul ABA’B’, cu dimensiunile AB=2R, AA’=G=h, d=A’B, unde d este diagonala sectiunii axiale.

secitunea axiala intr-un cilindru

Secitiunea paralela cu baza intr-un clindru circular drept se obtine la intersectia cilindrului cu un plan paralel cu bazele acestuia si este un cerc congruent cu cercul de baza al cilindrului.

 

 

Prisma dreapta Paralelipipedul dreptunghic

De ce sa invatam corpul geometric Prisma? Cu toate cazurile lui particulare?

Raspunsul este simplu, nu pentru ca asa trebuie de la scoala ca sa luam o nota buna, ci pentru ca ne ajuta in viata de zi cu zi, dar si pentru ca aceste notiuni constitue baza pentru ceea ce dorim sa profesam, adica domenii c matematica, arhitectura si multe altele.

Pentru cei care nu vreti sa profetati intr-un domeniu in care apare si matematica este important sa cunoasteyi notiunile de baza pentru ca nu se stie niciodata in viata cand ne ajuta.

Prezentam notiunea de prisma dreapta:

Definitie: Se numeste prisma dreapta o prisma care are muchiile perpendiculare pe planele bazelor.

In acest articol o sa invatam sa calculam aria laterala a unei prisme, aria totala dar si volumul unei prisme.

 

Dar mai intai o sa ne reamintim elementele componente ale prismei, elemente care ne ajuta si la formulele pe care le v-om prezenta mai jos:

Inaltimea unei prisme drepte o notam h si este egala cu lungimea muchiilor laterale.

Planul bazei unei prisme regulate poate fi:

– un triunghi echilateral, daca prisma este triunghiulara regulata

– un patrat, daca prisma este patrulater regulata

– un dreptunghi, daca avem un paralelipiped dreptunghic

din categoria prismelor fac parte: prisma triunghiular regulata, prisma patrulater regulata, paralelipipedul dreptunghic, dar si cubul.

Aria laterala a unei prisme se noteaza cu A_{l} si este egala cu suma ariilor fetelor laterale.

Aria totala a unei prisme se noteaza cu A_{t} si este egala cu suma dintre aria laterala si aria bazelor.

Volumul unei prisme se noteaza cu V si este egal cu produsul dintre aria bazei si inaltime.

Mai notam cu P_{b} perimetrul bazei prismei si A_{b} aria bazei prismei.

Asadar

A_{l}=P_{b}\cdot h
A_{t}=A_{l}+2\cdot A_{b}
V=A_{b}\cdot h.

Paralelipipedul dreptunghic este o prisma dreapta cu baza dreptunghi.

Dar cu formulele de la prisma putem deduce formulele pentru paralelipipedul dreptunghic, astfel

Aria laterala a unui paralelipiped dreptunghic este

A_{l}=P_{b}\cdot h=\left(2l+2L\right)\cdot h=2\cdot l\cdot h+2\cdot L\cdot h

Aria totala a unui paralelipiped dreptunghic este:

A_{t}=A_{l}+2\cdot A_{b}=2\cdot l\cdot h+2\cdot L\cdot h+2\cdot L\cdot l

Iar volumul unui paralelipiped este:

V=A_{b}\cdot h=L\cdot l\cdot h

Dar mai putem calcula si lungimea diagonalei intr-un paralelipiped dreptunghic, notam cu d- lungimea diagonalei

d=\sqrt{l^{2}+L^{2}+h^{2}}

cum calculam diagonala intr-un paralelipiped dreptunghic

Observati ca in cazul de sus:

– AA’ este inaltimea, AB este lungimea si BC este latimea

BD este diagonala bazei, adica diagonala dreptunghiului si BD’ este diagonala paralelipipedului dreptunghic.

Aplicatii:

1. Un paralelipiped dreptunghic ABCDA’B’C’D’ cu baza ABCD are A_{t}=256\;\; cm^{2}, BC=4\;\; cm si AB=8 cm. Calculati:

a) Aria bazei paralelipipedului

b) Aria laterala a paralelipipedului

c) inaltimea paralelipipedului

d) Volumul paralelipipedului

e) diagonala paralelipipedului

Demonstratie:

aria laterala aria totala si volumul intr-o prsima

a) Ca sa aflam aria bazei paralelipipedului este foarte simplu deoarece stim si lungimea si latimea astfel obtinem

A_{ABCD}=AB\cdot BC=8\cdot 4=32\;\; cm^{2}

Deci am aflat aria bazei paralelipipedului

b) Ca sa aflam aria laterala

Din ipoteza stim

Aria totala, adica

A_{t}=256\;\; cm^{2}\Rightarrow A_{l}+2\cdot A_{b}=256\;\; cm^{2}\Rightarrow A_{l}=2\cdot 32=256\Rightarrow A_{l}+64=256\Rightarrow A_{l}=256-64\Rightarrow A_{l}=192\;\; cm^{2}

Deci am aflat aria laterala a paralelipipedului.

Acum ca sa aflam inaltimea paralelipipedului stim aria laterala, deci

A_{l}=192\Rightarrow P_{b}\cdot h=192

Dar sa calculam periemtrul bazei

P_{b}=2\left(L+l\right)=2\left(8+4\right)=2\cdot 12=24\;\; cm

Cum stim perimetrul bazei daca inlocuim mai sus gasim:

24\cdot h=192\Rightarrow h=192:24\Rightarrow h=8

Deci inaltimea paralelipipedului este de 8 cm.

Acum ca sa aflam vlolumul paralelipipedului stim:

V=A_{b}\cdot h=L\cdot l\cdot h=8\cdot 4\cdot 8=32\cdot 8=256\;\; cm^{3}

d) Iar diagonala paralelipipedului este

d_{paralelipiped}=\sqrt{L^{2}+l^{2}+h^{2}}=\sqrt{8^{2}+4^{2}+8^{2}}=\sqrt{64+16+64}=\sqrt{144}=12\;\; cm

 

Ecuatii echivalente cu ecuatii de forma ax+b=0

Pana in acest moment am invatat sa rezolvam ecuatii in multimea numerelor naturale, multimea numerelor rationale, multimea numerelor intregi, dar acum rezolvam ecuatiile si in multimea numerelor reale. Aceste ecuatii au o alta forma, iar noi trebuie sa le aduce la o forma apropiata de ce am invatat, adica ecuatii echivalente cu ecuatii de forma ax+b=0

Defintie: Ecuatia de forma ax+b=0, a\in R^{*}, b\in R este o ecuatie cu o necunoscuta x sau mai mult este o ecuatie de gradul intai.

– Numarul a  se numeste coeficientul necunoscutei

– numarul b se numeste termenul liber al ecuatiei

Ca sa rezolvam o ecuatie inseamna sa-i gasim si sa-i determinam multimea solutiilor.

Daca dupa ecuatie se specifica in ce multime ia x valori, atunci trebuie sa avem grija sa rezolvam ecuatia in multimea respectiva.

Definitie: Doua ecuatii se numesc echivalente daca au aceiasi multime de solutii.

Aplicatii:

1. Rezolvati in R ecuatiile:

a) -13x+4=21+4x\Rightarrow -13x-4x=21-4\Rightarrow -17x=17\Rightarrow x=-1

Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus, mai intai incercam sa o aducem la forma ax=b, observati ca am trecut termenii necunoscutii in stanga si termenii cunoscuti in dreapta, apoi am efectuat calculele si am obtinut rezultatul x=-1

Pentru a ne verifica daca am rezolvat corect ecuatia, inlocuim valoarea gasita in ecuatia intiala, astfel avem:

-13\cdot\left(-1\right)+4=21+4\cdot\left(-1\right)\Rightarrow 13+4=21-4\Rightarrow 17=17

deci se verifica, asadar solutia ecuatiei este x=-1

b) ^{3)}\frac{5x-3}{2}-^{6)}1=^{2)}\frac{4-x}{3}\Rightarrow \frac{3\cdot\left(5x-3\right)-6\cdot 1}{6}=\frac{2\left(4-x\right)}{6}

Observat ca mai intai am adus atat in membrul stang cat si in membrul drept la acelasi numitor, pentru al putea elimina si pentru a ne simplifica calculele, astfel ecuatia devine:

3\left(5x-3\right)-6=2\left(4-x\right)\Rightarrow 15x-9=8-2x\Rightarrow 15x+2x=8+9\Rightarrow 17x=17\Rightarrow x=1

deci obtinem ca solutia ecuatiei este x=1.

c) \left(\sqrt{2}x-3\right)\left(\sqrt{2}x+3\right)=2x\left(x-3\right)\Rightarrow \left(\sqrt{2}x\right)^{2}-3^{2}=2x\cdot x-2x\cdot 3\Rightarrow 2x^{2}-9=2x^{2}-6x\Rightarrow 2x^{2}-2x^{2}+6x=9\Rightarrow 6x=9\Rightarrow x=\frac{9}{6}^{(3}=\frac{3}{2}

Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus observati ca mai intai am folosit formula \left(a+b\right)\left(a-b\right)=a^{2}-b^{2}

Iar in membrul drept am inmultit elementul din fata parantezei cu fiecare termen din paranteza, apoi am trecut necunoscutele in membrul stang si termenul liber in membrul drept, am efectuat calculele si am obtinut solutia ecuatiei x=\frac{3}{2}

d) \frac{3}{x}+\frac{4}{x}=\frac{1}{3}-\frac{2}{x}\Rightarrow \frac{3+4}{x}=\frac{1}{3}-\frac{2}{x}\Rightarrow \frac{7}{x}=\frac{1}{3}-\frac{2}{x}\Rightarrow \frac{7}{x}+\frac{2}{x}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{7+2}{x}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{9}{x}=\frac{1}{3}\Rightarrow x\cdot 1=9\cdot 3\Rightarrow x=27

Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus mai intai, in membrul drept, am adunat cele doua fractii deoarece au acelasi numitor. Apoi am trecut termenul necunoscut din membrul drept in membrul stang, la fel avem acelasi numitor si am aduna numitorii, apoi am folosit Proprietatea fundamental a proportiilor si astfel am obtinut rezultatul x=27.

Functia f(x)=ax+b

Functia f\left(x\right)=ax+b joaca un rol important pentru examenul pe care trebui sa-l sustineti in acest an.

Asadar incempem prin a definii notiune de functie de forma f\left(x\right)=ax+b

Definitie: Functia de tipul f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=ax+b, unde a, b\in R se numeste functia liniara.

Daca a\neq 0, functia f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=ax+b se numeste functia de gradul I.

Reprezentarea geometrica a graficului unei functii liniare este o dreapta.

1. Astfel exista o discutie in functie de coeficienti functiei de gradul I, adica:

– daca a\neq 0 si b=0, functia devine f\left(x\right)=ax+0=ax, iar graficul functie are ca reprezentare geometrica drepta care contine originea sistemului de coordonate.

– daca a=b=0, functia devine f\left(x\right)=0 este functia constanta nula, a carei reprezentare geometrica este axa Ox.

– daca a=0 si b\neq 0, functia devine f\left(x\right)=b se numeste functia constanta nenula a carei reprezentare geometrica este o dreapta paralela cu axa Ox.

Intersectia graficului unei functii de gradul I cu axele de coordonate.

Fie functia f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=ax+b, a\in R^{*}, b\in R

Atunci

G_{f}\cap Ox este f\left(x\right)=0\Rightarrow ax+b=0\Rightarrow ax=-b\Rightarrow x=\frac{-b}{a}

Si are punctul de coordonate:

G_{f}\cap Ox=A\left(\frac{-b}{a}, 0\right)

Dar si

G_{f}\cap Oy, calculam f\left(0\right)=a\cdot 0+b=b

Deci

G_{f}\cap Oy=B\left(0,b\right)

Doua functii f.g:R\rightarrow R, f\left(x\right)=ax+b, g\left(x\right)=cx+d se numesc efale daca si numai daca au acelasi domeniu de definitie, acelasi codomeniu si a=c si b=d.

Aplicatii:

1. Se considera functia f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=-x+3

a) Reprezentati grafic functia f

b) Calculati aria triunghiului cuprins intre graficul functiei si axele de coordonate

c) Calculati perimetrul triunghiului cuprins intre graficul functiei si axele de coordonate

Solutie:

Mai intai calculam graficul functie intersectat cu axele de coordonate, adica

G_{f}\cap Ox\Rightarrow f\left(x\right)=0

\Rightarrow -x+3=0\Rightarrow

-x=-3\Rightarrow x=3

Deci G_{f}\cap OX=A\left(3, 0\right)

Acum calculam si G_{f}\cap Oy\Rightarrow f\left(0\right)=-0+3=3

Deci

G_{f}\cap Oy=B\left(0,3\right)

Acum trasam graficul functiei.

cum trasam graficul functiei de gradul I

b) Acum sa calculam Aria triunghiului determinat de graficul functie si axele de coordonate:

Observam ca triunghiul AOB este dreptunghic in O, deci putem aplica formula ariei pentru triunghiul dreptunghic, adica

A_{Delta ABC}=\frac{c_{1}\cdot c{2}}{2}=\frac{AO\cdot BO}{2}=\frac{3\cdot 3}{2}=\frac{9}{2}=4,5\;\; cm^{2}

c) Acum ca sa aflam perimetrul triunghiului ABC, aplicam Teorema lui Pitagora in triunghiul dreptunghic AOB

AB^{2}=AO^{2}+BO^{2}\Rightarrow AB^{2}=3^{2}+3^{2}\Rightarrow AB^{2}=9+9\Rightarrow AB=\sqrt{18}=3\sqrt{2}

Acum calculam

P_{\Delta ABC}=    AO+OB+BA=3+3+3\sqrt{2}=6+3\sqrt{2}=3\left(2+\sqrt{2}\right)

Asadar, trebuie sa invatam functiile deoarece au multe utilizari si aplicatii in practica pentru rezolvarea unor probleme in special de fizica, iar cea ce am invatat noi pana acum constitue doar un inceput.

 

 

 

 

 

 

Subiecte pentru teza clasa a VIII a

Prezentam un model de subiecte pentru teza clasa a VIII a pentru algebra.

1. Scris sub forma de fractie  ireductibila numarul 0,08(3) este egal cu….

Solutie:

Observam ca  avem o fractie zecimala periodica mixta, deci ca sa obtinem o fractie ireductibila, mai intai scriem fractia zecimala sub forma de fractie ordinara

0,08(3)=\frac{83-8}{900}=\frac{75}{900}^{(25}=\frac{3}{36}^{(3}=\frac{1}{12}.

Observati ca mai intai am simplificat fractia ordinara obtinuta prin 25 si apoi prin 3, de unde am obtinut o fractiei ireductibila ( numerele 1 si 12 sunt prime intre ele)

2. Rezultatul calculului 3\sqrt{48}-4\sqrt{12} este…

Solutie:

Ca sa aflam rezultatul calculului mai intai scoatem factorii de sub radicali, asadar obtinem:

3\sqrt{48}-4\sqrt{12}=3\sqrt{2^{2}\cdot 2^{2}\cdot 3}-4\sqrt{2^{2}\cdot 3}=3\cdot 2\cdot 2\sqrt{3}-4\cdot 2\sqrt{3}=12\sqrt{3}-8\sqrt{3}=4\sqrt{3}.

Deci rezultatul calcului este 4\sqrt{3}. ca sa rezolvam corect aceste tipuri de exercitii trebuie sa stim foarte bine sa scoatem factorii de sub radicali, daca nu va reamintiti click aici.

3. Inversul numarului -\frac{5}{2} este…

Solutie:

Inversul unui numar, a unei fractii ordinare este rasturnatul ei, adica -\frac{2}{5}

Deoarece stim ca a^{-1}=\frac{1}{a}

4. Rezultatul calculului \left(2\sqrt{2}-1\right)^{2}+2\sqrt{8} este egal cu…

Solutie:

Ca sa rezolvam corect calcului de mai sus aplicam formula de calcul prescurtat \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2\cdot a\cdot b+b^{2}, dar si scoatem factorii de sub radicali:

Astfel obtinem

\left(2\sqrt{2}-1\right)^{2}+2\sqrt{8}=

\left(2\sqrt{2}\right)^{2}-2\cdot 2\sqrt{2}\cdot 1+1^{2}+2\sqrt{2^{2}\cdot 2}=

2^{2}\cdot\left(\sqrt{2}\right)^{2}-4\sqrt{2}+1+2\cdot 2\sqrt{2}=

4\cdot 2-4\sqrt{2}+1+4\sqrt{2}=8+1=9

Observati ca la formula de calcul prescurtat a=2\sqrt{2} si b=1, adica ridicam tot numarul la puterea a doua.

 

5. Media geometrica a numerelor a=\frac{2}{2-\sqrt{6}}+\sqrt{\left(2-\sqrt{6}\right)^{2}}+|-5| si b=|\sqrt{2}-2|+|2+\sqrt{3}|+\sqrt{\left(2\sqrt{3}-3\sqrt{2}\right)^{2}}-|\sqrt{3}-2\sqrt{2}| este egal cu…

Solutie:

Pentru a calcula media geometrica a numerelor trebuie sa stim formula pentru calcularea mediei geometrice a doua numere a si b, astfel

M_{g}=\sqrt{a\cdot b}

Dar mai intai aducem numerele a si b la o forma mai simpla:

a=\frac{2}{2-\sqrt{6}}+\sqrt{\left(2-\sqrt{6}\right)^{2}}+|-5|=    \frac{2\left(2+\sqrt{6}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{6}\right)^{2}}+|2-\sqrt{6}|+5=    \frac{2\left(2+\sqrt{6}\right)}{4-6}+\sqrt{6}-2+5=    \frac{2\left(2+\sqrt{6}\right)}{-2}+\sqrt{6}+3=-\left(2+\sqrt{6}\right)+\sqrt{6}+3=-2-\sqrt{6}+\sqrt{6}+3=1

Observati ca pentru a aduce numarul a la o forma mai simpla mai intai la fractie am rationalizat numitorul, adica

\frac{1}{a\sqrt{b}+c\sqrt{d}}=\frac{1\cdot\left(a\sqrt{b}-c\sqrt{d}\right)}{\left(a\sqrt{b}\right)^{2}-\left(c\sqrt{d}\right)^{2}}, dar am tinut cont si ca \sqrt{a^{2}}=|a| si cum stim ca \sqrt{6}>2 am obtinut \sqrt{\left(2-\sqrt{6}\right)}=|2-\sqrt{6}|=\sqrt{6}-2, dar si ca |-a|=a, ia3 apoi am efectuat calculele.

Acum sa calculam b

b=|\sqrt{2}-2|+|2+\sqrt{3}|+\sqrt{\left(2\sqrt{3}-3\sqrt{2}\right)^{2}}-|\sqrt{3}-2\sqrt{2}|=    =2-\sqrt{2}+2+\sqrt{3}+|2\sqrt{3}-3\sqrt{2}|-\left(2\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)=    =4-\sqrt{2}+\sqrt{3}+3\sqrt{2}-2\sqrt{3}-2\sqrt{2}+\sqrt{3}=    4+0+0=4

In cazul numarului b, folosim definitia modulului adica

|a|=a,\;\; daca\;\; a>0

|a|=-a, \;\;daca \;\; a<0

Si |a|=0\;\; daca \;\; a=0

In cazul nostru stim ca 2>\sqrt{2}, deci |\sqrt{2}-2|=-\left(\sqrt{2}-2\right)=-\sqrt{2}+2=2-\sqrt{2}

Dar si regula de la radicali, adica \sqrt{a^{2}}=|a|, care la fel ca mai sus, am discutat modulul, adica

\sqrt{\left(2\sqrt{3}-3\sqrt{2}\right)^{2}}=|2\sqrt{3}-3\sqrt{2}|

dar acum sa vedem care este mai mare, daca introducem factorii sub radicali obtinem

2\sqrt{3}=\sqrt{2^{2}\cdot 3}=\sqrt{4\cdot 3}=\sqrt{12}

Si

3\sqrt{2}=\sqrt{3^{2}\cdot 2}=\sqrt{9\cdot 2}=\sqrt{18}

Si observam ca

\sqrt{18}>\sqrt{12}

Deci

3\sqrt{2}>2\sqrt{3}

si astfel obtinem

|2\sqrt{3}-3\sqrt{2}|=-\left(2\sqrt{3}-3\sqrt{2}\right)=3\sqrt{2}-2\sqrt{3}, la fel am procedat si la ultimul modul.

Apoi am efectuat calculele, adica am adunat termenii care aveau acelasi radical, dar si termenii liberi si am obtinut rezultatul 4.

Deeci M_{g}=\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{1\cdot 4}=\sqrt{4}=2

6. Scrisa sub forma de reuniune de intervale , multimea A=\left\{x\in R||2x-3|>5\right\} este egal cu ….

Solutie:

Mai intai consideram cazul, modulului pozitiv, adica calculam

2x-3>5\Rightarrow 2x>5+3\Rightarrow 2x>8\Rightarrow x>4\Rightarrow x\in\left(4; +\infty\right)

Dar si cand modulul este negativ, adica

-2x+3>5\Rightarrow -2x>5-3\Rightarrow -2x>2|\cdot\left(-1\right)\Rightarrow 2x<-2\Rightarrow x<-1\Rightarrow x\in \left( -\infty; -1\right)

asadar in cazul acestei inegalitati, consideram mai intai modulul pozitiv, iar apoi modului negativ.

Iar solutia scrisa sub forma de reuniune de intervale este

\left(-\infty, -1\right)\cup\left(4, +\infty\right)

Vom mai reveni si in alte articole cu subiecte pentru teza clasa a VIII a.