Divizor si multiplu

Presupunem ca avem doua numere naturale a si b.

Spunem ca b divide a si otam b|a, daca exista un numar natural c astfel incat a=b\cdot c sau b este divizo al lui a.

Astfel in cazul de fata p, putem sa spunem despre a ca este un multiplu al lui b, si utilizam una din notatiile:

b|a, la fel cum am spus mai sus citib, b divide a

Sau

$latex a?b$ si citim a este divizibil cu b.

Exemplu

2|6, deoarece exista un numar natural c=3, astfel incat 6=2\cdot 3

Astfel 2 este divizor al lui 6, iar 6 este multiplu al lui 6.

Daca n este un numar natural oarecare, atunci n|0, deoarece exista un numar natural 0=n\cdot c (numarul natural c este 0)

Mai stim si ca 0|0, deoarece exista un numar natural c, astfel incat 0=0\cdot c

Observatie: Daca a si b sunt doua numere naturale si b\neq 0

atunci b|a daca si numai daca $late a:b=c, c\in N$ (impartirea celor doua numere naturale este un numar natural)

Aplicatii:

1) Determinati x\in N astfel incat:

x-1\in D_{15}

Mai intai scriem divizori lui 15, astfel avem

D_{15}=\left\{1; 3; 5; 15\right\}

Pentru

x=2\Rightarrow 2-1=1\in D_{15}

Pentru

x=4\Rightarrow 4-1=3\in D_{15}

x=6\Rightarrow 6-1=5\in D_{15}

x=16\Rightarrow 16-1=15\in D_{15}

x\in\left\{2; 4; 6; 16\right\}

b) 2x+1\in D_{12}

Scriem divizorii lui 12, astfel avem:

D_{12}=\left\{1; 2; 3; 4; 6; 12\right\}

Astfel putem sa rezolvam exercitiu si in alt mod

2x+1=1\Rightarrow 2x=1-1\Rightarrow 2x=0\Rightarrow x=0

Si observam ca pentru x=0 se verifica 2\cdot 0+1\in D_{12}

2x+1=2\Rightarrow 2x=2-1\Rightarrow 2x=1\Rightarrow x=\frac{1}{2}\notin N (nu convine)

2x+1=3\Rightarrow 2x=3-1\Rightarrow 2x=2\Rightarrow x=1\in N

Pentru x=1, avem 2\cdot 1+1=2+1=3\in D_{12}

2x+1=4\Rightarrow 2x=4-1\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac{3}{2}\notin N (nu convine)

2x+1=6\Rightarrow 2x=6-1\Rightarrow 2x=5\Rightarrow x=\frac{5}{2}\notin N(nu convine)

2x+1=12\Rightarrow 2x=12-1\Rightarrow 2x=11\Rightarrow x=\frac{11}{2}\notin N(nu convine)

deci x\in\left\{0; 1\right\}

b)

 

 

Multimea numerelor rationale Reprezentarea pe axa a numerelor rationale

Definitie: Un numar rational se poate exprima printr-un cat neefectuat, a:b, fie printr-o fractie ordinara, \frac{a}{b}, fie printr-o fractie zecimala finita sau periodica (catul efectuat al numerelor intregi a si b, $b\neq 0$)

Dupa cum bine stim multimea numerelor rationale se noteaza cu Q, astfel definim:

Q=\left\{\frac{a}{b}| a,b\in Z, b\neq 0\right\}

Multimea numerelor rationale pozitive o notam cu Q_{+} si o definim:

Q_{+}=\left\{\frac{a}{b}| a, b\in N, b\neq 0 \right\}

Dar si

Multimea numerelor rationale negative o notam cu Q_{-} si o definim ca fiind:

Q_{-}=\left\{\frac{a}{b}| a,b\in Z_{-}\right\}

Daca a\in Z, atunci \frac{a}{1}=a. Deci avem ca a\in Q si atunci Z\subset Q.

deoarece stim ca

N\subset Z, iar acum am invatat ca Z\subset Q obtinem incluziunea N\subset Z\subset Q.

Definitie: Numim axa numerelor o dreapta pe care fixam un punct, numit origine, o unitate de masura si un sens pozitiv.

Fiecarui numar rational ii corespunde un unic numar pe axa numerelor.

Cum transformam o fractiile zecimale in fractii ordinare?

Incepem cu transformarea fractiilor zecimale in fractii ordinare

O fractie zecimala simpla este de forma

\bar{a_{0}, a_{1}a_{2}...a_{n}}=\frac{a_{0}a_{1}...a_{n}}{10^{n}}

Exemplu:

0,24=\frac{24}{100}^{(4}=\frac{6}{25}

Observati ca la numarator am scris numarul asa cum a fost (0 nu l-am mai pus ca nu are sens in fata unui numar), iar la numitor, am pus cifra 1, urmata de atatea zerouri cate are fractia zecimala dupa virgula, apoi am simplificat prin 4 si astfel am obtinut o fractie ireductibila.

3,576=\frac{3576}{1000}^{(4}=\frac{894}{250}^{(2}=\frac{447}{125}

La fel ca si la exemplu de mai sus, am scris la numarator, numarul  asa cum este, iar la numitor cifra 1 urmata de atatea zerouri cate cifre sunt dupa virgula, adica 3 zerouri pentru ca avem trei cifre dupa virgula, apoi am simplificat si astfel al obtinut o fractie ireductibila.

b) transformarea fractiilor zecimale periodice simple in fractii ordinare

\bar{a_{0}, \left(a_{1}a_{2}....a_{p}\right)}=\frac{\bar{a_{0}a_{1}a_{2}...a_{p}}}{\underbrace{999...0}_{\mbox{p cifre}}}

Exemple:

0,(6)=\frac{6}{9}^{(3}=\frac{2}{3}

Observati ca in cazul fractiei de mai sus, la numarator am scris cifra 6, iar la numitor cifra 9, deoarece (o singura cifra deoarece in perioada apare o singura cifra)

3,(24)=3\frac{24}{99}

Observati ca in cazul exemplului de mai sus in perioada avem doua cifre si astfel la numitor avem doua cifre de 99, iar daca introducem intregii in fractiei obtinem fractia

3\frac{24}{99}=\frac{3\cdot 99+24}{99}=\frac{297+24}{99}=\frac{321}{99}^{3}=\frac{107}{33}

Sau mai simplu transformam fractia zecimala periodica simpla astfel

3,(24)=\frac{324-3}{99}=\frac{321}{99}^{(3}=\frac{107}{33}

c) transformarea fractiilor zecimale periodice mixte in fractii ordinare:

\bar{a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}...a_{p}\left(b_{1}b_{2}...b_{n}\right)}=a_{0}\frac{\bar{a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}...a_{p}b_{1}b_{2}...b_{n}}}{\underbrace{999...9}_{\mbox {p cifre}}\underbrace{000...0}_{\mbox{n cifre}}}

Exemplu:

0,0(6)=\frac{6}{90}^{(6}=\frac{1}{15}

Observati ca la numarator am scris cifra 6, iar la numitor o singura cifra de 9, deoarece in perioada avem o singura cifra, si o singura cifra de 0, deoarece intre perioada si virgula avem o singura cifra.

2,3(21)=2\frac{321-3}{990}=2\frac{318}{990}

Observati ca in cazul exemplului de mai sus la numarator amscris mai intai intregul, apoi la fractie numarul dupa virgula (nu am ma tinut cont de perioada) din care am scazut numarul din fata perioadei, adica 3, iar la numitor, doua cifre de 9, deoarece in perioada avem doua cifre si o cifra de 0, deoarece intre perioada si virgula apare o singura cifra.

Sau mai simplu putem sa transformam fractia astfel:

2,3(21)=\frac{2321-23}{990}=\frac{2298}{990}

Daca la prima metoda intyroducem intregii in fractie obtinem tot acelasi lucru.

 

 

 

Unghi Unghi nul Unghi alungit

Definitie: Se numeste unghi figura geometrica formata din doua semidrepte inghise care au aceeasi origine. Cele doua semidrepte se numesc laturile unghiului, iar originea comuna se numeste varful unghiului.

Astfel Daca cele doua semidrepte sunt [OA si  [OB, unghiul va fi notat \widehat{AOB} sau \widehat{BOA}, ca in figura de mai jos

unghiul

Dar in cazul unghiului de mai sus mai putem folosi si notatia urmatoare:

\prec{BOA} sau \prec{A}

Un unghi ale carui laturi coincid se numeste unghi nul.

Un unghi ale carui laturi sunt perechi de semidrepte opuse se uneste unghi alungit.

unghi nul, unghi alungit

Un unghi care nu este nici nul nici alungit se numeste unghi propriu. Un unghi care este nul sau alungit se numeste unghi impropriu.

Aplicatii:

1) Se dau trei puncte P, Q, R apartinand unei drepte d in aceasta ordine. Care din unghiurile:

a) \widehat{PQR}

b) \widehat{RQP}

c) \widehat{QRP}

d) \widehat{PRQ}

e) \widehat{RPQ}

f) \widehat{QPR} este alungit si care nul.

Solutie:

Mai intai realizam figura:

unghiul  nul
Astfel:
a) \widehat{PQR} este unghi alungit, deoarece semidreptele [QP si[QR sunt semidrepte opuse.
b) \widehat{RQP} este unghi alungit, deoarece semidreptele [QR si [QP sunt semidrepe opuse.
c) \widehat{QRP} este unghi nul, deoarece semidreptele [RQ si [RP coincid.
d) \widehat{PRQ} este unghi nul deoarece semidreptele [RP si [RQ coincid
e) \widehat{RPQ} este unghi nul deoarece semidreptele [PR si [PQ coincid
f) \widehat{QPR} este unghi nul deoarece semidreptele[PQ si [PR coincid

Sirul numerelor naturale Reprezentarea numerelor naturale pe axa numerelor

Dupa ce am invatat sa scriem si sa citim numerele naturale, a venit vremea sa vedem cum putem grupa aceste numere, astfel:

-sirul numerelor naturale este format din: 0,1, 2, 3, 4,…., 99, 100,…,

Sirul numerelor naturale este infinit (exista oricat de multe numere naturale)

In cazul sirului  numerelor naturale, numerele n si n+1 se numesc consecutive.

Dar poate sa existe si numarul n-1, astfel:

  •  n-1 se numeste predecesorul numarului n iar numarul
  • n+1 se numeste succesorul numarului n.

Inca in clasele primare am vazut care sunt numerele pare, astfel:

  • sirul numerelor naturale pare este: 0, 2, 4, 6, 8, …, 100,…, 2n…..

Sirul numerelor naturale impare este: 1, 3, 5, 7, 9,…, 2n+1,……

Axa numerelor naturale este o dreapta pe care:

– fixam un punct O, numit origine

– stabilim un sens de parcurgere de la stanga la dreapta, numit sens pozitiv

– alegem un segment, numit unitate de masura.

Axa numerelor

Execitii:

1) Se da sirul 1, 4, 7, 10,…

a) Scrieti urmatorii trei termeni ai sirului.

b) Aflati al 56-lea termen al sirului.

Solutie:

a) Observam ca termenii din sirul de mai sus sunt din 3 in 3, astfel urmatorii trei termeni sunt:

1; 4; 7; 10; 13; 16; 19

b)  Dupa cum am spus  termenii de mai sus sunt din 3 in trei,deci al 56-lea termen putem sa-l aflam astfel:

Termenul de pe pozitia 56 va avea valoarea:

1+3\cdot 55=1+165=166

deci termenul de pe pozitia 56 este166.

Observam ca din sirul numerelor putem sa gasim formula:

1,4,7,10,13=1+3\cdot n

Astfel pentru

n=0, obtinem 1+3 \cdot 0=1

La fel si pentru celelate numere

n=4 obtinem 1+3\cdot 4=1+12=13, adica termenul de pe pozitia a 5 a.

Astfel temenul de pe pozitia a 56 este:

n=55 obtinem 1+3\cdot 55=1+165=166

2) Reprezentati pe axa numerelor punctele ale caror coordonate sunt:

a) 3, 4, 5, 9

b) numerele pare mai mici sau egal cu 8

c) numerele impare mai mari decat 2 si mai mici decat 10.

Solutie:

Mai intai la punctul b sa vedem care sunt numerele pare mai mici sau egale cu 8, astfel avem: 0; 2; 4; 6; 8,luam si pe 8 deoarece este mai mic sau egal cu 8. Deci numerele care le reprezentam sunt 0, 2, 4, 6, 8.

Iar la punctul c) numerele impare cuprinse inte 2 si 10 sunt: 3, 5, 7,9, deci numerele care le reprezentam sunt:3, 5, 7, 9.

reprezentarea numerelor pare si numerelor impare

Scrierea si citirea numerelor naturale in sistemul de numeratie zecimal

Inca din scoala primara am invatat sa scriem si sa citim numerele naturale in sistemul de numeratie zecimal.

Astfel fie un numar n=143 275 396

Deci, prima grupa de numere citita de la stanga la dreapta este grupa milioanelor, urmatoarea grupa este grupa miilor, iar ultima grupa grupa sutelor.

Astfel ordinul de marime de la dreapta spre stanga este: untitati, zeci, sute

Astfel daca citim numarul de la stanga la dreapta avem

n=  o suta 4 zeci si 3 de milioane,(grupa milioanelor) 2 sute 7 zeci si 5 de mii,(grupa miilor) 3 sute 9 zeci si 6 (grupa unitatilor)

Ca sa scriem un numar natural n folosim cifrele arabe: 0,1,2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

In functie de feul in care scriem un numar natural, folosim un sistem zecimal si un sistem pozitional.

Foarte important pentru exercitii este sa stim ca trecerea de la un ordin de marime la un ordin superior se face dupa 10 unitati de ordin inferior: baza de numeratie zece.

Exemplu:

Numarul

m=101 010 se descompune in baza zece astfel:

m=1\cdot 100 000+0\cdot 10 000+1\cdot 1000+0\cdot 100+1\cdot 10+0.

Astfel numarul

\bar{ab}=a\cdot 10+b

\bar{abc}=a\cdot 100+b\cdot 10+c

Sau

\bar{abcd}=a\cdot 1 000+b\cdot 100+10\cdot c+d

Din punct de vedere istoric, primul sistem de numeratie folosit a fost sistemul roma, care foloseste cifre romane si este un sistem nepozitional.

Astfel cifrele romane sunt:

I=1

V=5

X=10

L=50

C=100

D=500

M=1 000

Exercitii:

1) Aflati numerele \bar{ab} care verifica relatiile:

a) \bar{a3}=\bar{7b}

Astfel daca scriem numerele le descompunem in baza zece si obtinem:

a\cdot 10+3=7\cdot 10+b\Leftrightarrow 10a+3=70+b\Leftrightarrow 10a-b=70-3\Leftrightarrow 10a-b=67

Deci obtinem ca a>b.

Pentru

a=7, obtinem:

10\cdot 7-b=67\Leftrightarrow 70-b=67\Leftrightarrow 70-67=b\Leftrightarrow 3=b

Deci obtinem b=3.

Astfel numerele obtinute sunt:

\bar{a3}=73

Si

\bar{7b}=73

2) Numarul \bar{cba} este rasturnatul numarului \bar{abc}. Pentru fiecare din numerele urmatoare scrieti rasturnatele lor:

a) 415, iar rasturnatul ei este 514

b) 101, iar rasturnatul lui este 101

c) 135 907, iar rasturnatul lui este 709 531

3) Scrieti cu cifre arabe urmatoarele numere:

a) XXVI=10+10+5+1=26

b) CXC=100+100-10=100+90=190

c) CXLVII=100+50-10+5+1+1=100+40+2=147

d) MCXXXIX=1000+100+10+10+10+10-1=1100+30+9=1139

e) DXIX=500+10+10-1=500+10+9=519.

Astfel daca exista un ordin de marime mai mic in fata unuia mai mare se efectueaza operati de scadere.

4)  Scrieti cu cifre romane urmatoarele numere:

a) 1964=MCMLXIV

b) 2 012=MMXII

c) 1 111=MCXI

d) 197=CXCVII