Paralelogramul

 

Despre paralelogram ati tot auzit ca se vorbeste, notiunile preliminare le aveti inca din clasele mai mici, dar acum o sa-l studiem mai in amanuntit, astfel mai intati o sa enuntam proprietatile acestuia si apoi o sa rezolvam probleme cu ajutorul proprietatilor.
Dupa ce invatam proprietatile paralelogramului o sa invatam si cazurile particulare ale paralelogramului: dreptunghi, romb, patratul.
Defintie: Paralelogramul este patrulaterul convex cu laturile opuse paralele doua cate doua.

Un patrulater este paralelogram daca si numai daca indeplineste una din conditiile urmatoare:

– are laturile opuse congruente doua cate doua

proprietatile paralelogramului

[AB]\equiv [CD]

Dar si

[AD]\equiv [BC]

 

– are laturile opuse paralele si congruente doua cate doua

[AB]\equiv [CD]

Dar si

[AD]\equiv [BC]

Dar si

AB||CD\;\; AD||BC

– are unghiurile opuse congruente si oricare doua alaturale suplementare

\widehat{ADC}\equiv\widehat{ABC}

Dar si

\widehat{DAB\equiv}\widehat{DCB}

Mai mult

m\left(\widehat{DAB}\right)+m\left(\widehat{ABC}\right)=180^{0}

– diagonalele au acelasi mijloc

[AO]\equiv [OC]

Si

[DO]\equiv [OB]

diagonalele intr-un paralelogram

Aplicatii:

1. Fie MNP un triunghi echilateral si Q\in (NP). Daca RQ|| MP, R\in (MN) si QS||MN, S\in (MP), iar perimetrul paralelogramului MRQS este de 36,8 cm, calculati perimetrul triunghiului MNP.

Demonstratie

cum aflam perimetrul unui triunghi echilateral

Stim ca

P_{MRQS}=36,8\;\; cm\Rightarrow MR+RQ+QS+SM=36,8

Dar stim ca intr-un paralelogram laturile opuse sunt congruente doua cate doua astfel avem ca

MR=QS=x

Dar si

MS=RQ=y

Si astfel obtinem

x+y+x+y=36,8\Rightarrow 2x+2y=36,8\Rightarrow 2\left(x+y\right)=36,8\Rightarrow x+y=36,8:2\Rightarrow x+y=18,4\;\; cm

Deci

MR+RQ=18,4

Dar perimetrul triunghiului MNP este

P_{MNP}=MN+NP+PM=MR+RN+NQ+QP+PS+SM

Dar stim ca MR=QS si MS=RQ, astfel perimetrul triunghiului MNP devine

P_{MNP}=MR+RN+NQ+QP+PS+SM=QS+RN+NQ+QP+PS+RQ=QS+RQ+RN+NQ+QP+PS=18,4+RN+NQ+QP+PS

Si observam ca MR=QS, dar si MS=RQ

Deci am gasit ca MN=18,4

Si cu triunghiul MNP este echilateral obtinem ca P_{MNP}=3\cdot 18,4=55,2

2. In paralelogramul ABCD se considera punctele E\in (AB), F\in (CD), G\in (AD), H\in (BC), astfel incat [AE]\equiv [CF], [AG]\equiv [CH]. Demonstrati ca EHFG este paralelogram.

Demonstratie:

cum aratam ca un patrulater este paralelogram

Stim ca ABCD este paralelogram, din ipoteza stim ca

[AE]\equiv [GF]

Dar si [AG]\equiv [CH]

Mai stim si ca intr-un paralelogram unghiurile opuse sunt congruente, astfel avem ca:

\widehat{GAE}\equiv \widehat{FCH}, deci rezulta cu cazul L.U.L ca \Delta AGE\equiv\Delta CHF, de unde obtinem ca [GE]\equiv [FH]

Dar stim ca EHFG este patrulater convex, am demonstrat mai sus ca doua dintre laturile opuse sunt congruente, dar observam si ca

[DF]\equiv [BE]

Mai mult, tot din ipoteza

[DB]\equiv [BH]

Si cu proprietatea paralelogramului

\widehat{GDF}\equiv\widehat{EBH}

Deci obtinem cu cazul de congruenta L.U.L ca

\Delta GDF\equiv \Delta HBE

Si obtinem ca [GF]\equiv [EH]

Deci obtinem ca EHFG este paralelogram (laturile opuse sunt congruente doua cate doua)

Va intrebati de sa invatam figura geometrica paralelogramul? La ce ne foloseste?
Raspunsul o sa-l primiti la sfarsitul acestui articol
Matematica in general ne ajuta in viata, dar cu ajutorul geometriei putem sa rezolvam probleme din viata de zi cu zi. Imaginati-va ca intr-o zi bunicul/ bunica, va cere ca sa-i calculati suprafata la o gradina si mai mult sa-i spuneti cati ari are.