Patratul si cubul unui numar natural Patrate perfecte

Patratul si cubul unui numar natural este o lectie introductiva in  care o sa inavatam care sunt patratele si cuburile unor numere naturale, dar si cum sa efectuam anumite exercitii care pana acum ni se pareau imposibile.

De preferat e sa invatam patratele perfecte si notiunile teoretice, deoarece ne ajuta in rezolvarea exercitiilor:

Puterea a doua a unui numar natural n, adica n^{2} se  numeste patratul numarului n s citim n la patrat.

Putera a treia a unui numar natural n , adica n^{3} se numeste cubul numarului n si se citeste n la cub.

Un patrat perfect este patratul unui numar natural.

Pentru  a stii care numere sunt patrate perfect este esential sa stim ca ultima cifra a unui patrat perfect poate fi 0, 1, 4, 5, 6, 9.

De unde gasim si o metoda de a arata cand un numar este patrat perfect sau nu.

Astfel, daca ultima cifra este diferita de: 0, 1, 4, 5, 6, 9, atunci numarul nu este patrat perfect sau mai putem spune ca daca ultima cifra a unui numar este 2, 3, 7 sau 8, atunci numarul nu este patrat perfect.

Pentru a afla ultima cifra a unui numar trebuie sa tinem cont de urmatoarele reguli:

Fie x un numar natural. Notam cu U(x), ultima cifra a unui numar natural.

U\left(x+y\right)=U\left(U\left(x\right)+U\left(y\right)\right)

Dar si U\left(x\cdot y\right)=\left(U\left(x\right)\cdot U\left(y\right)\right)

Mai mult: U\left(x^{n}\right)=U\left[\left(U\left(x\right)\right)^{n}\right]

Aplicatii

Aratati ca urmatorul numar este patrat perfect:

2010^{2}-2010-2009 este patrat perfect.

Ca sa aratam ca numarul este patrat perfect observam mai intai ca intre primii doi termeni putem da factor comun numarul 2010, 2010\left(2010-1\right)-2009=2010\cdot 2009-2009

Acum daca dam din nou factor comun intre termenii ramasi numarul 2009 obtinem: 2009\cdot\left(2010-1\right)=2009^{2} deci numarul de mai sus este patrat perfect.

2. Aratati ca urmatoarele numere nu sunt patrate perfecte:

2^{1981}

Pentru a demonstra ca numarul nu este patrat perfect calculam ultima cifra a numarului , astfel avem: U\left(2^{1981}\right)=U\left[\left(U\left(2\right)\right)^{1981}\right]=U\left(2^{1981}\right)

Acum calculam 1981:4=495 rest 1.

Astfel numarul devine U\left(2^{1981}\right)=U\left(2^{1}\right)=2

Cum ultima cifra a numarului este 2, rezulta ca numarul nu este patrat perfect.

Am impartit exponentul la 4, deoarece ultima cifra pentru puterile lui 2, 3, 7, si 8 este dupa resturile ce se obtin prin impartirea exponentului acestei puteri prin 4.

b) 97^{143}

Ca sa aratam ca numarul nu este patrat perfect calculam mai intai ultima cifra anumarului 97: U\left[\left(U\left(97\right)\right)^{143}\right)=U\left(7^{143}\right)=

Apoi ridicam numarul la cub, sau cum am facut mai sus am riicat mai intai numarul la patrat si l-am inmulti cu el insusi, ca sa invatam cum sa calculam si ultima cifra cand avem produs.

=U\left(7^{3}\right)=U\left(7^{2}\cdot 7\right)=U\left(U\left(7^{2}\right)\cdot U\left(7\right)\right)=U\left(U\left(49\right)\cdot U\left(7\right)\right)=U\left(9\cdot 7\right)=U\left(63\right)=3

Cum ultima cifra a numarului de mai sus este 3, obtinem ca numarul nu este patrat perfect.

Ultima cifra a numarului putem sa o calculam si astfel:

U\left(7^{3}\right)=U\left(243\right)=3

Cum la fel ca si mai sus ultima cifra este 3, rezulta ca numarul nu este patrat perfect.

Lasă un comentariu

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *