Patratul si cubul unui numar natural Patrate perfecte

Patratul si cubul unui numar natural este o lectie introductiva in  care o sa inavatam care sunt patratele si cuburile unor numere naturale, dar si cum sa efectuam anumite exercitii care pana acum ni se pareau imposibile.

De preferat e sa invatam patratele perfecte si notiunile teoretice, deoarece ne ajuta in rezolvarea exercitiilor:

Puterea a doua a unui numar natural n, adica n^{2} se  numeste patratul numarului n s citim n la patrat.

Putera a treia a unui numar natural n , adica n^{3} se numeste cubul numarului n si se citeste n la cub.

Un patrat perfect este patratul unui numar natural.

Pentru  a stii care numere sunt patrate perfect este esential sa stim ca ultima cifra a unui patrat perfect poate fi 0, 1, 4, 5, 6, 9.

De unde gasim si o metoda de a arata cand un numar este patrat perfect sau nu.

Astfel, daca ultima cifra este diferita de: 0, 1, 4, 5, 6, 9, atunci numarul nu este patrat perfect sau mai putem spune ca daca ultima cifra a unui numar este 2, 3, 7 sau 8, atunci numarul nu este patrat perfect.

Pentru a afla ultima cifra a unui numar trebuie sa tinem cont de urmatoarele reguli:

Fie x un numar natural. Notam cu U(x), ultima cifra a unui numar natural.

U\left(x+y\right)=U\left(U\left(x\right)+U\left(y\right)\right)

Dar si U\left(x\cdot y\right)=\left(U\left(x\right)\cdot U\left(y\right)\right)

Mai mult: U\left(x^{n}\right)=U\left[\left(U\left(x\right)\right)^{n}\right]

Aplicatii

Aratati ca urmatorul numar este patrat perfect:

2010^{2}-2010-2009 este patrat perfect.

Ca sa aratam ca numarul este patrat perfect observam mai intai ca intre primii doi termeni putem da factor comun numarul 2010, 2010\left(2010-1\right)-2009=2010\cdot 2009-2009

Acum daca dam din nou factor comun intre termenii ramasi numarul 2009 obtinem: 2009\cdot\left(2010-1\right)=2009^{2} deci numarul de mai sus este patrat perfect.

2. Aratati ca urmatoarele numere nu sunt patrate perfecte:

2^{1981}

Pentru a demonstra ca numarul nu este patrat perfect calculam ultima cifra a numarului , astfel avem: U\left(2^{1981}\right)=U\left[\left(U\left(2\right)\right)^{1981}\right]=U\left(2^{1981}\right)

Acum calculam 1981:4=495 rest 1.

Astfel numarul devine U\left(2^{1981}\right)=U\left(2^{1}\right)=2

Cum ultima cifra a numarului este 2, rezulta ca numarul nu este patrat perfect.

Am impartit exponentul la 4, deoarece ultima cifra pentru puterile lui 2, 3, 7, si 8 este dupa resturile ce se obtin prin impartirea exponentului acestei puteri prin 4.

b) 97^{143}

Ca sa aratam ca numarul nu este patrat perfect calculam mai intai ultima cifra anumarului 97: U\left[\left(U\left(97\right)\right)^{143}\right)=U\left(7^{143}\right)=

Apoi ridicam numarul la cub, sau cum am facut mai sus am riicat mai intai numarul la patrat si l-am inmulti cu el insusi, ca sa invatam cum sa calculam si ultima cifra cand avem produs.

=U\left(7^{3}\right)=U\left(7^{2}\cdot 7\right)=U\left(U\left(7^{2}\right)\cdot U\left(7\right)\right)=U\left(U\left(49\right)\cdot U\left(7\right)\right)=U\left(9\cdot 7\right)=U\left(63\right)=3

Cum ultima cifra a numarului de mai sus este 3, obtinem ca numarul nu este patrat perfect.

Ultima cifra a numarului putem sa o calculam si astfel:

U\left(7^{3}\right)=U\left(243\right)=3

Cum la fel ca si mai sus ultima cifra este 3, rezulta ca numarul nu este patrat perfect.