Plane perpendiculare

Cand doua plane sunt perpendiculare?

Cu ce ne ajuta sa stim cand doua plane sunt perpendiculare?

Stim ca doua drepte se numesc perpendiculare daca formeaza un unghi cu masura de 90^{0}

Astfel

Definitie: Doua plane se numesc perpendiculare daca formeaza un unghi diedru drept.

cand doua plane sunt perpendiculare

 

 

\alpha\perp \beta daca si numai daca m\left(\widehat{\alpha,\beta}\right)=90^{0}

Observatie. Daca \alpha\perp\beta, atunci si \beta\perp \alpha

Foarte utile sunt urmatoarele teoreme care ne ajuta in rezolvarea problemelor:

Teorema: Daca un plan \alpha contine o dreapta a, care este perpendiculara pe un plan \beta, atunci planele \alpha si \beta sunt perpendiculare.

cand doua plane sunt perpendiculare

d\subset\alpha

Si d\perp \beta\Rightarrow \alpha\perp \beta

Teorema. Dandu-se doua plane perpendiculare, atunci perpendiculara dusa dintr-un punct oarecare al unuia  pe dreapta de intersectie a celor doua plane este perpendculara pe cel de al doilea plan.

Prezentam anumite aplicatii in care aplicam ceea ce am mai spus mai sus.

Triunghiul echilateral ABC de latura 24 cm si triunghiul isoscel BCD BD=CD=6\sqrt{5} sunt situate in plane perpendiculare. Aflati:

a) distanta de la punctul D la dreapta AC

b) aria triunghiului ABD si masura unghiului plan corespunzator diedrului format de planele (ACD) si (ABC)

Demonstratie:

plane perpendiculare

Stim din ipoteza ca

\left(ABC\right)\perp\left(BCD\right)

Si cu teorema de mai sus stim si ca

DM\perp BC

Observam ca

DM, BC\subset\left(DBC\right) (triunghiul DBC este isoscel)

Dar si

MN\perp AC si cu Teorema celor trei perpendiculare obtinem ca DN\perp AC

Deci am obtinut ca

d\left(D, AC\right)=DN

Dar mai intai sa aflam DM, stim ca

DM este inaltime in triunghiul isoscel DBC, deci si mediana cu proprietatea triunghiului isoscel

Astfel obtinem BM=MB=\frac{BC}{2}=\frac{24}{2}=12 cm

In triunghiul DBM aplicam teorema lui Pitagora si obtinem:

DM^{2}=DB^{2}-BM^{2}\Rightarrow DM^{2}=\left(6\sqrt{5}\right)^{2}-12^{2}\Rightarrow DM^{2}=36\cdot 5-144\Rightarrow DM^{2}=180-144\Rightarrow DM=\sqrt{36}=6\;\; cm.

Acum i triunghiul CMN dreptunghic in N, stim ca masura unghiului C este de 60 de grade deci aplicam

\sin C=\frac{MN}{CM}\Rightarrow \sin 60^{0}=\frac{MN}{12}\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{MN}{12}\Rightarrow MN=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}

Acum in triunghiul DMN, dreptunghic in M aplicam Teorema lui Pitagora

DN^{2}=DM^{2}+MN^{2}\Rightarrow DN^{2}=6^{2}+\left(6\sqrt{3}\right)^{2}\Rightarrow DN^{2}=36+36\cdot 3\Rightarrow DN^{2}=36+108\Rightarrow DN=\sqrt{144}=12

b) Observam ca \Delta ADC\equiv\Delta ADB, deoarece:

[AD]\equiv[AD] (latura comuna)

[DB]\equiv[DB] (triunghiul DBC isoscel)

[AB]\equiv[AC] (deoarece triunghiul ABC este echilateral)

Si astfel obtinem si ca A_{\Delta ABD}=A_{\Delta ACD}

Si cum stim ca DN=12 cm, putem afla aria triunghiului ADC

A_{\Delta ADC}=\frac{AC\cdot DN}{2}=\frac{24\cdot 12}{2}^{(2}=\frac{12\cdot 12}{1}=144\;\;\; cm^{2}.

Acum sa aflam

m\left(\widehat{(ACD), (ABC)}\right)

Mai intai aflam ca

(ACD)\cap(ABC)=\left\{AC\right\}

De la punctul a)  stim ca DN\perp AC, dar putem duce si BN\perp AC (deoarece triunghiul ABC este echilateral)

Astfel obtinem unghiul

m\left(\widehat{(ACD), (ABC)}\right)=m\left(\widehat{DN, BN}\right)=m\left(\widehat{DNB}\right)=m\left(\widehat{DNM}\right)

deci in triunghiul DNM dreptunghic in M, putem aplica functiile trigonomutrice:

\sin \widehat{DNM}=\frac{DM}{DN}=\frac{6}{12}^{6)}=\frac{1}{2}

Deci obtinem ca unghiul cautat are masura de 30^{0}

cum aflam masura unui unghi diedru