Cand doua plane sunt perpendiculare?
Cu ce ne ajuta sa stim cand doua plane sunt perpendiculare?
Stim ca doua drepte se numesc perpendiculare daca formeaza un unghi cu masura de
Astfel
Definitie: Doua plane se numesc perpendiculare daca formeaza un unghi diedru drept.
daca si numai daca
Observatie. Daca , atunci si
Foarte utile sunt urmatoarele teoreme care ne ajuta in rezolvarea problemelor:
Teorema: Daca un plan contine o dreapta a, care este perpendiculara pe un plan
, atunci planele
si
sunt perpendiculare.
Si
Teorema. Dandu-se doua plane perpendiculare, atunci perpendiculara dusa dintr-un punct oarecare al unuia pe dreapta de intersectie a celor doua plane este perpendculara pe cel de al doilea plan.
Prezentam anumite aplicatii in care aplicam ceea ce am mai spus mai sus.
Triunghiul echilateral ABC de latura 24 cm si triunghiul isoscel BCD sunt situate in plane perpendiculare. Aflati:
a) distanta de la punctul D la dreapta AC
b) aria triunghiului ABD si masura unghiului plan corespunzator diedrului format de planele (ACD) si (ABC)
Demonstratie:
Stim din ipoteza ca
Si cu teorema de mai sus stim si ca
Observam ca
(triunghiul DBC este isoscel)
Dar si
si cu Teorema celor trei perpendiculare obtinem ca
Deci am obtinut ca
Dar mai intai sa aflam DM, stim ca
DM este inaltime in triunghiul isoscel DBC, deci si mediana cu proprietatea triunghiului isoscel
Astfel obtinem
In triunghiul DBM aplicam teorema lui Pitagora si obtinem:
.
Acum i triunghiul CMN dreptunghic in N, stim ca masura unghiului C este de 60 de grade deci aplicam
Acum in triunghiul DMN, dreptunghic in M aplicam Teorema lui Pitagora
b) Observam ca , deoarece:
(latura comuna)
(triunghiul DBC isoscel)
(deoarece triunghiul ABC este echilateral)
Si astfel obtinem si ca
Si cum stim ca DN=12 cm, putem afla aria triunghiului ADC
.
Acum sa aflam
Mai intai aflam ca
De la punctul a) stim ca , dar putem duce si
(deoarece triunghiul ABC este echilateral)
Astfel obtinem unghiul
deci in triunghiul DNM dreptunghic in M, putem aplica functiile trigonomutrice:
Deci obtinem ca unghiul cautat are masura de