Plane perpendiculare

Cand doua plane sunt perpendiculare?

Cu ce ne ajuta sa stim cand doua plane sunt perpendiculare?

Stim ca doua drepte se numesc perpendiculare daca formeaza un unghi cu masura de $90^{0}$

Astfel

Definitie: Doua plane se numesc perpendiculare daca formeaza un unghi diedru drept.

$\alpha\perp \beta$ daca si numai daca $m\left(\widehat{\alpha,\beta}\right)=90^{0}$

Observatie. Daca $\alpha\perp\beta$ , atunci si $\beta\perp \alpha$

Foarte utile sunt urmatoarele teoreme care ne ajuta in rezolvarea problemelor:

Teorema: Daca un plan $\alpha$ contine o dreapta a, care este perpendiculara pe un plan $\beta$ , atunci planele $\alpha$ si $\beta$ sunt perpendiculare.

$d\subset\alpha$

Si $d\perp \beta\Rightarrow \alpha\perp \beta$

Teorema. Dandu-se doua plane perpendiculare, atunci perpendiculara dusa dintr-un punct oarecare al unuia pe dreapta de intersectie a celor doua plane este perpendculara pe cel de al doilea plan.

Prezentam anumite aplicatii in care aplicam ceea ce am mai spus mai sus.

Triunghiul echilateral ABC de latura 24 cm si triunghiul isoscel BCD $BD=CD=6\sqrt{5}$ sunt situate in plane perpendiculare. Aflati:

a) distanta de la punctul D la dreapta AC

b) aria triunghiului ABD si masura unghiului plan corespunzator diedrului format de planele (ACD) si (ABC)

Demonstratie:

Stim din ipoteza ca

$\left(ABC\right)\perp\left(BCD\right)$

Si cu teorema de mai sus stim si ca

$DM\perp BC$

Observam ca

$DM, BC\subset\left(DBC\right)$ (triunghiul DBC este isoscel)

Dar si

$MN\perp AC$ si cu Teorema celor trei perpendiculare obtinem ca $DN\perp AC$

Deci am obtinut ca

$d\left(D, AC\right)=DN$

Dar mai intai sa aflam DM, stim ca

DM este inaltime in triunghiul isoscel DBC, deci si mediana cu proprietatea triunghiului isoscel

Astfel obtinem $BM=MB=\frac{BC}{2}=\frac{24}{2}=12 cm$

In triunghiul DBM aplicam teorema lui Pitagora si obtinem:

$DM^{2}=DB^{2}-BM^{2}\Rightarrow DM^{2}=\left(6\sqrt{5}\right)^{2}-12^{2}\Rightarrow DM^{2}=36\cdot 5-144\Rightarrow DM^{2}=180-144\Rightarrow DM=\sqrt{36}=6\;\; cm$ .

Acum i triunghiul CMN dreptunghic in N, stim ca masura unghiului C este de 60 de grade deci aplicam

$\sin C=\frac{MN}{CM}\Rightarrow \sin 60^{0}=\frac{MN}{12}\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{MN}{12}\Rightarrow MN=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$

Acum in triunghiul DMN, dreptunghic in M aplicam Teorema lui Pitagora

$DN^{2}=DM^{2}+MN^{2}\Rightarrow DN^{2}=6^{2}+\left(6\sqrt{3}\right)^{2}\Rightarrow DN^{2}=36+36\cdot 3\Rightarrow DN^{2}=36+108\Rightarrow DN=\sqrt{144}=12$