Pozitiile relative a doua plane

Dupa ce am invatat pozitia relativa a unei drepte fata de un plan, iata ca vine vremea sa discutam despre Pozitiile relative a doua plane

Doua plane pot avea una din urmatoarele pozitii:

paralele, daca nu au niciun punct in comun

cand doua plane sunt paralele

si scriem \alpha||\beta

secante, daca au o dreapta in comun

 

plane secante

 

si scriem \alpha\cap\beta=d

 

confundate, daca au trei puncte necoliniare in comun

cand doua plane sunt confundate

Si scriem \alpha=\beta, adica planul \beta se confunda in planul \alpha

Exista si anumite teoreme pe care le folosim pentru a demonstra ca doua plane sunt paralele.

Teorema. Daca un plan contine doua drepte concurente paralele cu un alt plan, atunci cele doua plane sunt paralele.

Astfel consideram planul \alpha cu a,b\subset\alpha, astfel incat a\cap b=\left\{O\right\}

Dar stim si ca a\cap b||\beta\Rightarrow \alpha||\beta

conditia ca doua plane sa fie paralele

Teorema. Daca doua plane sunt paralele, atunci orice dreapta dintr-un plan este paralela cu celalalt plan.

Tranzitivitatea relatiei de paralelism

Doua plane paralele cu un al treilea plan sunt paralele intre ele.

Daca un plan \alpha este paralel cu un plan \beta, dar daca planul \beta este paralel cu un plan \gamma, atunci \alpha||\gamma

Adica scriem \alpha||\beta

\beta||\gamma\Rightarrow \alpha||\gamma

cand trei plane sa fie paralele

Aplicatii:

1. Consideram cubul ABCDA’B’C’D’.

Stabiliti pozitia relativa a planelor:

a) (A’B’C’) si (ABC)

b) (ABC) si (BCB’)

c) (ABC) si (ADC)

Demonstratie:

a) pozitia relativa a doua plane

Observam ca A’B’||AB, A'B'\subset\left(ABC\right) (1)

Dar si B’C’||BC BC\subset\left(ABC\right)\Rightarrow B'C'||(ABC) (2)

Din (1) si (2) obtinem ca (A'B'C')||(ABC)

Observam ca cele doua plane nu au nici un punct in comun.

b) (ABC) si (BCB’)

cand doua plane sunt secante

Observam ca in cazul celor doua plane avem un punct in comun, adica punctul B, deci au o dreapta in comun (ABC)\cap(BCB')=BC

c) (ABC) si (ADC)

cand doua plane sunt confundate

Observam ca in cazul celor doua plane se confunda si scriem (ABC)=(ADC)

Asadar este foarte important sa cunoastem pozitiile relative a celor doua plane.