Prisma dreapta Paralelipipedul dreptunghic

De ce sa invatam corpul geometric Prisma? Cu toate cazurile lui particulare?

Raspunsul este simplu, nu pentru ca asa trebuie de la scoala ca sa luam o nota buna, ci pentru ca ne ajuta in viata de zi cu zi, dar si pentru ca aceste notiuni constitue baza pentru ceea ce dorim sa profesam, adica domenii c matematica, arhitectura si multe altele.

Pentru cei care nu vreti sa profetati intr-un domeniu in care apare si matematica este important sa cunoasteyi notiunile de baza pentru ca nu se stie niciodata in viata cand ne ajuta.

Prezentam notiunea de prisma dreapta:

Definitie: Se numeste prisma dreapta o prisma care are muchiile perpendiculare pe planele bazelor.

In acest articol o sa invatam sa calculam aria laterala a unei prisme, aria totala dar si volumul unei prisme.

 

Dar mai intai o sa ne reamintim elementele componente ale prismei, elemente care ne ajuta si la formulele pe care le v-om prezenta mai jos:

Inaltimea unei prisme drepte o notam h si este egala cu lungimea muchiilor laterale.

Planul bazei unei prisme regulate poate fi:

– un triunghi echilateral, daca prisma este triunghiulara regulata

– un patrat, daca prisma este patrulater regulata

– un dreptunghi, daca avem un paralelipiped dreptunghic

din categoria prismelor fac parte: prisma triunghiular regulata, prisma patrulater regulata, paralelipipedul dreptunghic, dar si cubul.

Aria laterala a unei prisme se noteaza cu A_{l} si este egala cu suma ariilor fetelor laterale.

Aria totala a unei prisme se noteaza cu A_{t} si este egala cu suma dintre aria laterala si aria bazelor.

Volumul unei prisme se noteaza cu V si este egal cu produsul dintre aria bazei si inaltime.

Mai notam cu P_{b} perimetrul bazei prismei si A_{b} aria bazei prismei.

Asadar

A_{l}=P_{b}\cdot h
A_{t}=A_{l}+2\cdot A_{b}
V=A_{b}\cdot h.

Paralelipipedul dreptunghic este o prisma dreapta cu baza dreptunghi.

Dar cu formulele de la prisma putem deduce formulele pentru paralelipipedul dreptunghic, astfel

Aria laterala a unui paralelipiped dreptunghic este

A_{l}=P_{b}\cdot h=\left(2l+2L\right)\cdot h=2\cdot l\cdot h+2\cdot L\cdot h

Aria totala a unui paralelipiped dreptunghic este:

A_{t}=A_{l}+2\cdot A_{b}=2\cdot l\cdot h+2\cdot L\cdot h+2\cdot L\cdot l

Iar volumul unui paralelipiped este:

V=A_{b}\cdot h=L\cdot l\cdot h

Dar mai putem calcula si lungimea diagonalei intr-un paralelipiped dreptunghic, notam cu d- lungimea diagonalei

d=\sqrt{l^{2}+L^{2}+h^{2}}

cum calculam diagonala intr-un paralelipiped dreptunghic

Observati ca in cazul de sus:

– AA’ este inaltimea, AB este lungimea si BC este latimea

BD este diagonala bazei, adica diagonala dreptunghiului si BD’ este diagonala paralelipipedului dreptunghic.

Aplicatii:

1. Un paralelipiped dreptunghic ABCDA’B’C’D’ cu baza ABCD are A_{t}=256\;\; cm^{2}, BC=4\;\; cm si AB=8 cm. Calculati:

a) Aria bazei paralelipipedului

b) Aria laterala a paralelipipedului

c) inaltimea paralelipipedului

d) Volumul paralelipipedului

e) diagonala paralelipipedului

Demonstratie:

aria laterala aria totala si volumul intr-o prsima

a) Ca sa aflam aria bazei paralelipipedului este foarte simplu deoarece stim si lungimea si latimea astfel obtinem

A_{ABCD}=AB\cdot BC=8\cdot 4=32\;\; cm^{2}

Deci am aflat aria bazei paralelipipedului

b) Ca sa aflam aria laterala

Din ipoteza stim

Aria totala, adica

A_{t}=256\;\; cm^{2}\Rightarrow A_{l}+2\cdot A_{b}=256\;\; cm^{2}\Rightarrow A_{l}=2\cdot 32=256\Rightarrow A_{l}+64=256\Rightarrow A_{l}=256-64\Rightarrow A_{l}=192\;\; cm^{2}

Deci am aflat aria laterala a paralelipipedului.

Acum ca sa aflam inaltimea paralelipipedului stim aria laterala, deci

A_{l}=192\Rightarrow P_{b}\cdot h=192

Dar sa calculam periemtrul bazei

P_{b}=2\left(L+l\right)=2\left(8+4\right)=2\cdot 12=24\;\; cm

Cum stim perimetrul bazei daca inlocuim mai sus gasim:

24\cdot h=192\Rightarrow h=192:24\Rightarrow h=8

Deci inaltimea paralelipipedului este de 8 cm.

Acum ca sa aflam vlolumul paralelipipedului stim:

V=A_{b}\cdot h=L\cdot l\cdot h=8\cdot 4\cdot 8=32\cdot 8=256\;\; cm^{3}

d) Iar diagonala paralelipipedului este

d_{paralelipiped}=\sqrt{L^{2}+l^{2}+h^{2}}=\sqrt{8^{2}+4^{2}+8^{2}}=\sqrt{64+16+64}=\sqrt{144}=12\;\; cm