Probleme recapitulative

Incepem prin a rezolva probleme astfel incat sa ne reamintim notiunile care le-am invatat in clas a VI a. Incepem mai intai cu notiunea de unghi.

1. Un unghi are masura egala cu 25% din masura complementului sau. Care este masura acelui unghiu?

Mai intai transpunem situatia problema intr-o ecuatie:

Dar mai intai ne aducem aminte de notiunea de complement. Doua unghiuri se numesc complementare daca suma masurii unghiurilor este de $90^{0}$ , astfel obtinem:

Fie x unghiul

$x=\frac{25}{100}\left(90^{0}-x\right)\Rightarrow x=\frac{1}{4}\left(90^{0}-x\right)\Rightarrow 4x=90^{0}-x\Rightarrow 4x+x=90^{0}\Rightarrow 5x=90^{0}\Rightarrow x=90^{0}:5\Rightarrow x=18^{0}$

Deci masura acelui unghi este de 18 grade.

Observati ca pentru a rezolva ecuatia pe care am format-o am folosit Proprietatea fundamenala a proportiilor.

2. Un unghi are masura cu $36^{0}$ mai mare decat a cincea parte din masura suplementului sau. Care este masura acelui unghi?

Solutie

Mai intai ne reamintim notiunea de unghiuri suplementare.

Doua unghiuri se numesc suplementare daca suma masurii unghiurilor este eglala cu $180^{0}$

Acum transpunem situatia problema intr-o ecuatie, astfel

notam cu y unghiul si ecuatia devine

$y=\frac{1}{5}\left(180^{0}-y\right)+36^{0}$
Acum rezolvam ecuatia pentru a afla unghiul:
$y=\frac{1}{5}\cdot 180^{0}-\frac{1}{5}y+36^{0}\Rightarrow y+\frac{y}{5}=36^{0}+36^{0}\Rightarrow \frac{5y+y}{5}=72^{0}\Rightarrow \frac{6y}{5}=72^{0}\Rightarrow y=\frac{72\cdot 5}{6}^{(6}\Rightarrow y=\frac{12\cdot 5}{1}\Rightarrow y=60^{0}$
Deci masura unghiului este de 60 de grade.

3. Fie triunghiul ascutit unghic ABC, cu $AM\perp BC, M\in (BC), BN\perp AC, N\in (AC)$ si $AM\cap BN=\left\{H\right\}$ . Daca $m\left(\widehat{AHB}\right)=105^{0}$ , calculati masura unghiului $\widehat{BCA}$

Demonstratie:

Observam ca dreptele AM si BN sunt concurente si H este punctul lor de intersectie, deci avem unghiuri in jurul unui punct, stim ca $m\left(\widehat{AHB}\right)=m\left(\widehat{MHN}\right)$ (unghiuri opuse la varf).

Dar mai stim si ca

$m\left(\widehat{BHN}\right)=180^{0}$ (unghi alungit), dar avem ca

$m\left(\widehat{BHN}\right)=m\left(\widehat{BHA}\right)+m\left(\widehat{AHN}\right)$

Deci obtinem ca

$m\left(\widehat{BHA}\right)+m\left(\widehat{AHN}\right)=180^{0}$

Cum din ipoteza stim masura unghiului BHA obtinem

$105^{0}+m\left(\widehat{AHN}\right)=180^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{AHN}\right)=180^{0}-105^{0}=75^{0}$

Deci masura unghiului $m\left(\widehat{AHN}\right)=75^{0}$

Stim din ipoteza ca $BN\perp AC$ , deci avem ca $m\left(\widehat{ANH}\right)=90^{0}$

Deci in triunghiul AHN, avem:

$m\left(\widehat{AHN}\right)+m\left(\widehat{HNA}\right)+m\left(\widehat{NAH}\right)=180^{0}\Rightarrow$

$75^{0}+90^{0}+m\left(\widehat{NAH}\right)=180^{0}\Rightarrow$

$m\left(\widehat{NAH}\right)=180^{0}-165^{0}$

$\Rightarrow m\left(\widehat{NAH}\right)=15^{0}$

Dar tot din ipoteza stim ca $AM\perp BC$ , deci $m\left(\widehat{AMC}\right)=90^{0}$

Deci in triunghiul AMC putem afla masura unghiului MCA

$m\left(\widehat{MAC}\right)+m\left(\widehat{ACM}\right)+m\left(\widehat{CMA}\right)=180^{0}$

$\Rightarrow 15^{0}+m\left(\widehat{ACM}\right)+90^{0}=180^{0}\Rightarrow$

$105^{0}+m\left(\widehat{ACM}\right)=180^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{ACM}\right)=180^{0}-105^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{ACM}\right)=75^{0}$

Dar

$\widehat{ACM}\equiv\widehat{BCA}\Rightarrow m\left(\widehat{BCA}\right)=75^{0}$ .

Asadar la problemele in care apar unghiuri trebuie sa cunoastem notiunile de: unghiuri suplementare, unghiuri complementare, perpendicularitatea a doua drepte suma masurii unghiurilor intr-un triunghi, dar si tipurile de unghiuri.

Deci aceste sunt o mica parte din Probleme recapitulative pentru clasa a VII, notiuni cu care o sa ne mai intalnim in acest an scolar si pe care trebuie sa le stim.