Probleme rezolvate cu cazuri particulare de paralelogram

Prezentam probleme rezolvate cu cazuri particulare de paralelogram pe care le-am studiat pana acum.

1. Consideram un paralelogram ABCD in care AC=2BD. Fie M si  N mijloacele segmentelor (AO) respectiv (CO), AC\cap BD=\left\{O\right\}. Aratati ca patrulaterul DMBN este dreptunghi.

Demonstratie:

probleme rezolvate cu dreptunghiuri

Observam ca DMBN este un patrulater convex

Dar din ipoteza stim ca [DO]\equiv[BO] (deoarece DB diagonala in paralelogramul ABCD, dar si diagonala in patrulaterul convex DMBN), de unde gasim ca [DO]\equiv[BO]

Dar din ipoteza stim ca AC=2\cdot BD

Dar si ca M\in (AO) astfel incat $[AM]\equiv[MO]$

Si N\in (CO) astfel incat [CN]\equiv[NO]

astfel avem ca MO=\frac{AO}{2}

Si NO=\frac{CO}{2}

Iar MN=MO+ON\Rightarrow \frac{AO}{2}+\frac{CO}{2}=\frac{AO+CO}{2}=\frac{AC}{2}

Deci daca citim inceputul si sfarsitul avem ca MN=\frac{AC}{2}\Rightarrow AC=2\cdot MN

Dar stim si ca AC=2\cdot BD

Deci obtinem ca 2MN=2BD\Rightarrow MN=BD

Deci obtinem ca diagonalele sunt congrunete

Iar de la teorema referitoare la diagonale intr-un dreptunghi obtinem ca DMBN dreptunghi.

Stim ca diagonalele intr-un dreptunghi sunt cogrunete.

Dar si reciproca este adevarat, adica :

Daca intr-un paralelogram diagonalele sunt congruente, atunci paralelogramul este dreptunghi.

2. Fie ABC un triunghi isoscel, [AB]\equiv[AC] si m simetricul lui A, fata de BC. Demonstrati ca ABMC  este romb.

Demonstratie :

rombul

Observam ca pentru inceput ABMC este un patrulater convex

Notam AM\cap BC=\left\{O\right\}

Dar stim ca M este simetricul lui A fata de BC, deci stim ca [AO]\equiv[OM]

Observam ca O este mijlocul segmentului BC, deci avem si ca [BO]\equiv[OC]

Deci obtinem ca diagonalele au acelasi mijloc si cu proprietatile reciproce referitoare la diagonale intr-un paralelogram, obtinem ca ABMC este paralelogram.

Stim ca AO este mediana in triunghiul isoscel ABC, dar cu proprietatea de la triunghiul isoscel obtinem ca AO este si inaltime, si mediatoare, si bisectoare.

Deci stim ca AM\perp BC si BC\perp AM

Iar cu teorema reciproca referitoare la diagonale intr-un romb avem:

Daca intr-un paralelogram diagonalele sunt perpendiculare, atunci paralelogramul este romb.

Deci stim ca ABMC paralelogram, dar stim si ca AM\perp BC si BC\perp AM, deci ABMC este romb.

3. Fie ABC un triunghi dreptunghic in A si (AD D\in BC este bisectoarea unghiului A. Paralela prin D la AB intersecteaza AC in punctul F, iar paralela prin D la AC intersecteaza AM in punctul E, aratati ca AEDF patrat.

Demonstratie:

conditia ca un paralelogram sa fie patrat

Observam ca AEDF este un patrulater convex, dar stim din ipoteza ca

DE||AC\Rightarrow DE||AF

Dar tot din ipoteza avem ca DF||AB\Rightarrow DF||AE

Deci cu definitia paralelogramului stim ca AEDF este paralelogram, dar tot in ipoteza stim ca m\left(\widehat{A}\right)=90^{0}

Stim ca paralelogramul cu un unghi drept se numeste dreptunghi, deci avem ca AEDF paralelogram m\left(\widehat{A}\right)=90^{0}, deci obtinem ca AEDF este dreptunghi.

Dar pentru a demonstra ca este patrat trebuie sa demonstram ca este si romb.

Stim din ipoteza ca AD este diagonala, dar diagonala AD este si bisectoare a unghiului \widehat{EAF} in paralelogramul AEDF, rezulta cu proprietatea referitoare la diagonale intr-un romb ca AEDF este romb

Teorema. Daca intr-un paralelogram diagonalele sunt bisectoare atunci paralelogramul este romb.

Cum

AEDF este si dreptunghi si romb rezulta ca AEDF este patrat.

Pentru cei care nu stiti definitia patratului

Paralelogramul care este si dreptunghi si romb se numeste patrat.

Deci, important pentru a rezolva problemele cu paralelograme, cat si cu paralelograme particulare sa cunoastem proprietatile acestora, dar mai mult sa le intelegem nu doar sa le memoram.