Proportii Proprietatea fundamntala a proportiilor

Despre raport ma stim si din clasele anterioare, am vorbit dspre el, dar nu a fost notat asa, astfel stim ca prin raport intlegem numarul rational m:n, notat \frac{m}{n}
Acum ca stim ce inseamna notiunea de raport, putem sa introducem si notiunea de proportie, dar si Proprietatea fundamentala a proportiilor, proprietate care o sa ne ajute sa rezolbam cat mai multe exercitii. astfel:
Definitie: Egalitatea a doua rapoarte se numeste proportie.
Deci, daca rapoartele \frac{m}{n} si \frac{p}{q} au aceiasi valoare, ele formeaza proportia
\frac{m}{n}=\frac{p}{q}, iar numerele m, n, p, q se numesc termenii prportiei.
Termenii m, q se numesc extremi, iar termenii n, p se numesc mezi.
cum arata o proportie
Exemplu:
\frac{15}{5}=\frac{9}{3} (ambele rapoarte au valoarea 3)
Proprietatea fundamentala a proportiilor
Teorema
Intr-o proportie produsul extremilor este egal cu produsul mezilor.
\frac{m}{n}=\frac{p}{q}\Leftrightarrow m\cdot q=n\cdot p, unde n\neq 0, q\neq 0
Acum sa vedem cu aflam un termen necunoscut dintr-o proportie,astfel cu ajutorul proprietatii fundamentale a proportiilor, daca avem sa aflam un extrem obtinem
un\;\;\; extrem=\frac{produsul\;\;\; mezilor}{celalat\;\; extrem}
Adica
\frac{x}{n}=\frac{p}{q}\Rightarrow x=\frac{n\cdot p}{q}
Sau daca avem sa aflam un mez
un\;\; mez=\frac{produsul\;\;\; extremilor}{celalat\;\; mez} adica
\frac{m}{x}=\frac{p}{q}\Rightarrow x=\frac{m\cdot q}{p}
Aplicatii:
1) Aflati x din proportiile urmatoare
a)\frac{2}{7}=\frac{6,5}{2x-5}\Rightarrow 2x-5=\frac{7\cdot 6,5}{2}\Rightarrow 2x-5=\frac{45,5}{2}\Rightarrow 2x-5=22,75
\Rightarrow 2x=22,75+5\Rightarrow 2x=27,75\Rightarrow x=\frac{27,75}{2}=13,875
Astfel ca sa rezolvam exercitiu de mai sus am folosit Proprietatea fundamentala a proportiilor, dar mai exact a trebuit sa aflam termenul necunoscut dintr-o proportie, cum trebuia sa aflam unu extrem am folosit notiunile prezentate mai sus, iar apoi am folosit regulile care le-am invatat pana acum la rezolvarea ecuatiilor in multimea numerelor rationale.
Putem rezultatul obtinut sa-l transformam si intr-o fractie ordinara si astfel obtinem
x=13,875=\frac{13875}{1000}^{(25}=\frac{555}{40}^{5}=\frac{111}{8}.
b) \frac{x+3}{6}=\frac{12}{\bar{13a}}, unde 4|\bar{13a}
Dar mai intai sa vedem care sunt numerele divizibile cu 4 de forma \bar{13a}
Astfel un numar este divizibil cu 4, daca ultimele doua cifre sunt divizibile cu 4, astfel numerele divizibile cu 4 sunt
132; 136
astfel ecuatia devine:
\frac{x+3}{6}=\frac{12}{136}\Rightarrow x+3=\frac{6\cdot 12}{136}^{(4}\Rightarrow x+3=\frac{6\cdot 3}{34}^{(2}\Rightarrow x+3=\frac{3\cdot 3}{17}\Rightarrow x+3=\frac{9}{17}\Rightarrow x=\frac{9}{17}-3\Rightarrow x=\frac{1\cdot 9-17\cdot 3}{17}=\frac{9-51}{17}\Rightarrow x=\frac{-42}{17}\Rightarrow x=-\frac{42}{17}
Dar mai avem si
\frac{x+3}{6}=\frac{12}{132}\Rightarrow x+3=\frac{6\cdot 12}{132}^{(4}\Rightarrow x=\frac{6\cdot 3}{33}^{(3}\Rightarrow x=\frac{6\cot 1}{11}\Rightarrow x=\frac{6}{11}
2) Aflati valoarea raportului numerelor x si y daca:
\frac{x-3y}{2x+7y}=0,0(6)\Rightarrow \frac{x-3y}{2x+7y}=\frac{6}{90}^{(6}\Rightarrow \frac{x-3y}{2x+7y}=\frac{1}{15}\Rightarrow \left(x-3y\right)\cdot 15=1\cdot\left(2x+7y\right)\Rightarrow 15x-45y=2x+7y\Rightarrow 15x-2x=7y+45y\Rightarrow 13x=52y\Rightarrow \frac{x}{y}=\frac{52}{13}^{(13}\Rightarrow \frac{x}{y}=44
Ca sa rezolvam exercitiu de mai sus am aplicat Proprietatea fundamentala a proportiilor, dar ami intai am transformat fractia periodica mixta in fractie ordinara, am simplificat raportul al doile, iar apoi am folosit Proprietatea fundamentala a proportiilor, apoi am efectuat calculele, am redus termenii asemenea si astfel am obtinut o egalitate de doua numere cu x si y. De unde am folosit reciproca Proprietatii fundamentale a proportiilor si astfe am obtinut raportul numerelor x si y.