Pentru ca se vede in zare o evaluare initiala clasa a vii va propunem o problema in care ne vom arata notiunile despre proprietatile triunghiului dreptunghic.

 

1. In triunghiul ABC dreptunghic in A, cu m\left(\widehat{C}\right)=30^{0} se considera punctul E astfel incat [BE] \equiv [EC]

a) Aratati ca triunghiul ABE este echilateral

b) Fie AD\perp BC, atunci aratati ca CD=3\cdot BD

Demonstratie:

Cum aratam ca un triunghi este echilateral

Stim din ipoteza ca m\left(\widehat{C}\right)=30^{0}

Deci putem afla masura unghiului B, astfel

m\left(\widehat{A}\right)+m\left(\widehat{B}\right)+m\left(\widehat{C}\right)=180^{0}\Rightarrow

90^{0}+m\left(\widehat{B}\right)+30^{0}=180^{0}\Rightarrow

$latex m\left(\widehat{B}\right)=180^{0}-120^{0}\Rightarrow$

$latex m\left(\widehat{B}\right)=60^{0}$

Stim tot din ipoteza ca [BE]\equiv [EC], deci AE este mediana, aplicand teorema medianei in triunghiul ABC, obtinem

AE=\frac{BC}{2}

(Teorema medianei. Intr-un triunghi dreptunghic mediana dusa din varful unghiului drept masoara jumatate din ipotenuza).

deci am obtinut ca

[BE]=\equiv [AE], deci triunghiul ABE este isoscel si cum stim ca

m\left(\widehat{B}\right)=60^{0}, rezulta cu proprietatea de la triunghiul isoscel ca triunghiul ABE este echilateral (Daca un triunghi isoscel are un unghi de 60 de grade, atunci triunghiul este echilateral).

b) inaltimea intr-un triunghi echilateral

Stim ca AD este inaltime si in triunghiul echilateral ABE, dar este si mediana, mediatoare, bisectoare, astfel avem ca

[BD]\equiv [DE]

In triunghiul ADE, dreptunghic in D putem sa aflam masura unghiului E, dar si masura unghiului DAE, astfel stim ca AD este si mediana si mediatoare si bisectoare, deci stim ca este bisectoare, astfel gasim ca m\left(\widehat{DAE}\right)=m\left(\widehat{DAB}\right)=\frac{m\left(\widehat{BAE}\right)}{2}=\frac{60^{0}}{2}=30^{0}

Deci am gasit masura unghiului DAE, acum putem afla si masura unghiului AEB

m\left(\widehat{AEB}\right)=180^{0}-120^{0}=60^{0}.

Acum in triunghiul ADE aplica Teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0}, (Intr-un triunghi dreptunghic cateta care se opune unghiului de 30 de grade masoara jumatate din ipotenuza), astfel obtinem:

DE=\frac{AE}{2}

Dar stim ca triunghiul ABE este echilateral deci DE=\frac{BE}{2}\Rightarrow BE=2\cdot DE

Putem aplica Teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0} si in triunghiul ABC, astfel AB=\frac{BC}{2}\Rightarrow AB=\frac{BD+DC}{2}

Dar stim din ipoteza ca AB=BE (deoarece triunghiul ABE este  echilateral), astfel obtinem

BE=\frac{BD+DC}{2}\Rightarrow 2DE=\frac{BD+DC}{2}\Rightarrow 2\cdot 2DE=BD+DC\Rightarrow BD+DC=4DE

Dar stimde la proprietatea triunghiului echilateral ca AD este si mediana, astfel in triunghiul ABE, BD=DE

Si daca inlocuim mai sus obtinem

BD+DC=4DE\Rightarrow DE+DC=4DE\Rightarrow DC=4DE-DE\Rightarrow DC=3DE

Dar stim ca DE=BD, astfel obtinem

DC=3\cdot BD

Ceea ce trebuia demostrat.

Este important in demonstrarea unor egalitati la geometrie  ca sa ne folosim de toate informatiile care le da problema. Doar asa putem obtine rezultatul dorit. Mai studiati si alte probleme rezolvate pentru a trece cu brio de aceasta evaluare initiala clasa a vii care se apropie.