Reprezentarea si interpretarea unor dependente functionale prin tabele diagrame si grafice

Reprezentarea si interpretarea unor dependente functionale prin tabele diagrame si grafice constituie cunostinte preliminare pentru notiunile care o sa fie introduse in ani urmatori.

Dar mai intai sa enuntam notiunea de dependenta functionala:

Fie A si B doua multimi nevide. Spunem ca exista o dependenta functionala de la multimea A la multimea B, daca oricarui element din multimea A i se asociaza un unic element din multimea B.

In sensul definitie de mai sus (modul) regula, procedeul prin care fiecarui element a\in A din multimea A i se asociaza un unic element \in B se numeste lege de corespondenta sau relatie functionala de la multimea A la multimea B.

O dependenta functionala de la multimea A la multimea B se poate reprezenta printr-un tabel, printr-o diagrama sau printr-un grafic.

Exemple:

1. Fie dependenta functionala x\rightarrow y, de la multimea A=\left\{-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3\right\} la R, data prin regula

y=x^{2}+1. dereminati multimea valorilor pe care le poate lua y si reprezentati dependenta functionala prin tabel, diagrama si prin grafic.

Solutie:

Stim ca avem dependenta functionala de la A la R, deci stim ca x ia valorile din multimea a, astfel putem sa aflam y

x=-3\Rightarrow y=\left(-3\right)^{2}+1=9+1=10

x=-2\Rightarrow y=\left(-2\right)^{2}+1=4+1=5

x=-1\Rightarrow y\left(-1\right)^{2}+1=1+1=2

x=0\Rightarrow y=0^{2}+1=0+1=1

x=1\Rightarrow y=1^{2}+1=1+1=2

x=2\Rightarrow y=2^{2}+1=4+1=5

x=3\Rightarrow y=3^{2}+1=9+1=10

Acum reprezentam dependenta functionala prin diagrama, tabel si reprezentare grafica.

dependente functionale

Dar acum sa vedem cu calculam distanta dintre doua puncte, fie A\left(x_{A}, y_{A}\right) si B\left(x_{B}, y_{B}\right)

reprezentat intr-un sistem de axe ortogonale xOy, atunci distanta dintre punctele A si B este

AB=\sqrt{\left(x_{B}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B}-y_{A}\right)^{2}}

Mijlocul unui segment.

Pentru oricare doua puncte A si B, unde

A\left(x_{A}, y_{A}\right) si B\left(x_{B}, y_{B}\right)

coordonatele mijlocului  M al segmentului [AB] sunt:

x_{M}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}, y_{M}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}

Aplicatie:

Reprezentati   intr-un sistem de axe ortogonale punctele:

A\left(3; 2\right), B\left(-2; -4\right); C\left(0; -4\right); D\left(4; 0\right)

a)  Calculati distantele AB, AC, CD

b) Determinati coordonatele mijlocului M al segmentului [AC].

Mai intai reprezentam punctele intr-un sistem de axe ortogonale:

reprezentarea punctelor intr-un sistem de axe ortogonale

a) AB=\sqrt{\left(-2-3\right)^{2}+\left(-4-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(-5\right)^{2}+\left(-6\right)^{2}}=\sqrt{25+36}=\sqrt{61}

AC=\sqrt{\left(x_{C}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{C}-y_{A}\right)^{2}}=\sqrt{\left(0-3\right)^{2}+\left(-4-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(-3\right)^{2}+\left(-6\right)^{2}}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}

CD=\sqrt{\left(x_{D}-x_{C}\right)^{2}+\left(y_{D}-y_{C}\right)^{2}}=\sqrt{\left(4-0\right)^{2}+\left[0-\left(-4\right)\right)^{2}}=\sqrt{4^{2}+4^{2}}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}

Observat ca acum am scos factorii de sub radicali, dar la prima distanta nu am putut, deoarece 61 este numar prim.

b) Acum ca sa aflam mijlocul segmentului AC, consideram M\left(x_{M}, y_{M}\right) mijlocul segmentului [AC] stim formula prezentata mai sus, astfel avem

x_{M}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2}=\frac{3+0}{2}=\frac{3}{2}

Dar si

y_{M}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2}=\frac{2+\left(-4\right)}{2}=\frac{-2}{2}=-1

Deci M are coordonatele:

M\left(\frac{3}{2}; -1\right), unde M este mijlocul segmentului AC.

Asadar este foarte important sa invatam notiunea de dependenta functionala, deoarece constitue elementele preliminare pentru notiunea de functie.