Cum calculam lungimea unui segment? Segmente congruente

Cum definim notiunea de segment?

Cum calculam lungimea unui segment?

Dar si cand doua segmente sunt congruente, sunt notiuni care le invatam in acest articol!

Dar mai ales cum ne ajuta notiunea de segmente congrunete ?

Incepem prin a definii notiunea de de segment deschis.

Segmentul deschis determinat de doua puncte A si B se noteaza (AB) si este intersectia dintre semidreapta dewchisa (AB si semidreapta deschisa (BA, adica $(AB\cap (BA=(AB)$

Punctele A si B se numesc extremitatile segmentului, iar in cazul segmentului deschis, nu apartin acestuia.

Punctele care apartin segmentului deschis (AB) se numesc puncte interioare, iar cele care nu apartin acestuia se numesc exterioare intervalului.

Daca la segmentul deschis (AB) adaugam si extremitatile acestuia obtinem segmentul inchis [AB]

Adica

$(AB)\cap \left\{A, B\right\}=[AB]$

Observatie: Fiecarui numar ii corespunde un numar care se numeste lungimea segmentului.

Doua segmente se numesc congrunete daca au aceiasi lungime.

In probleme, segmentele congrunete se marcheaza la fel, pentru a fi recunoscute mai usor.

Cum notam doua segmente congrunete?

Consideram segmentele AB si CD de aceiasi lungime, astfel scriem ca segmentul inchis AB este congruent cu segmentul inchis CD si notam

$[AB]\equiv[CD]\Leftrightarrow AB=CD$

Aplicatii

1. Daca A, B, C, D sunt patru puncte coliniare in aceasta ordine si $[AB]\equiv[BC]\equiv[CD]$ si $BD=48 mm$ , aflati lungimile segmentelor [AC] si [AD].

Demonstratie:

Mai intai efectuam figura, astfel avem:

Stim ca BD=48 mm, dar mai stim si ca $[BC]\equiv[CD]\Rightarrow BC=CD=x$

Dar $BD=BC+CD\Rightarrow 48 mm=x+x\Rightarrow 48=2x\Rightarrow x=24\;\; mm$

Cum stim x stim si ca $BC=CD=24\;\; mm$

Iar acum putem sa aflam si AB, deoarece AB=BC=CD, obtinem ca AB=24 mm (segmentele sunt toate trei congrunete)

Dar acum sa aflam AC si AD

Astfel $AC=AB+BC\Rightarrow AC=24+24=48\;\; mm$

Iar $AD=AB+BC+CD=48+24=72\;\; mm$

$AC=AB+BC+CD$

2. Daca A, B, C, D sunt patru puncte coliniare in aceasta ordine astfel incat

$BC=\frac{AB+CD}{2}$ si $AB=\frac{BC+CD}{2}$ , aratati ca $[BC]\equiv [AB]$

Ca sa rezolvam problema mai intai realizam figura, astfel :

Stim ca $BC=\frac{AB+CD}{2}|\cdot 2\Rightarrow 2BC=AB+CD$

Observati ca am inmultit egalitatea de mai sus in ambii membri cu 2 si astfel am obtinut ca suma segmentelor extreme este de doua ori mai mare decat BC, dar ami avem si

$AB=\frac{BC+CD}{2}|cdot 2\Rightarrow 2AB=BC+CD$

Acum daca scadem din prima relatie pe cea de-a doua obtinem

$2BC-2AB=AB+CD-\left(BC+CD\right)\Rightarrow 2BC+2AB=AB+CD-BC-CD\Rightarrow 2BC-2AB=AB-BC\Rightarrow 2BC+BC=2AB+AB\Rightarrow 3BC=3AB|:3\Rightarrow BC=AB$

Deci obtinem ca cele doua segmente au aceiasi lungime si deci sunt congrunete $[BC]\equiv[AB]$

Asadar este foarte important sa stim notiunea de segment, cum notam un segment, dar si cand doua segmente sunt congruente, deoarece sunt notiuni esentiale in rezolvarea problemelor de geometrie si sunt notiuni de baza pe care o sa le folosim mai tot timpul.