Subiecte pentru teza clasa a VIII a

Prezentam un model de subiecte pentru teza clasa a VIII a pentru algebra.

1. Scris sub forma de fractie  ireductibila numarul 0,08(3) este egal cu….

Solutie:

Observam ca  avem o fractie zecimala periodica mixta, deci ca sa obtinem o fractie ireductibila, mai intai scriem fractia zecimala sub forma de fractie ordinara

0,08(3)=\frac{83-8}{900}=\frac{75}{900}^{(25}=\frac{3}{36}^{(3}=\frac{1}{12}.

Observati ca mai intai am simplificat fractia ordinara obtinuta prin 25 si apoi prin 3, de unde am obtinut o fractiei ireductibila ( numerele 1 si 12 sunt prime intre ele)

2. Rezultatul calculului 3\sqrt{48}-4\sqrt{12} este…

Solutie:

Ca sa aflam rezultatul calculului mai intai scoatem factorii de sub radicali, asadar obtinem:

3\sqrt{48}-4\sqrt{12}=3\sqrt{2^{2}\cdot 2^{2}\cdot 3}-4\sqrt{2^{2}\cdot 3}=3\cdot 2\cdot 2\sqrt{3}-4\cdot 2\sqrt{3}=12\sqrt{3}-8\sqrt{3}=4\sqrt{3}.

Deci rezultatul calcului este 4\sqrt{3}. ca sa rezolvam corect aceste tipuri de exercitii trebuie sa stim foarte bine sa scoatem factorii de sub radicali, daca nu va reamintiti click aici.

3. Inversul numarului -\frac{5}{2} este…

Solutie:

Inversul unui numar, a unei fractii ordinare este rasturnatul ei, adica -\frac{2}{5}

Deoarece stim ca a^{-1}=\frac{1}{a}

4. Rezultatul calculului \left(2\sqrt{2}-1\right)^{2}+2\sqrt{8} este egal cu…

Solutie:

Ca sa rezolvam corect calcului de mai sus aplicam formula de calcul prescurtat \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2\cdot a\cdot b+b^{2}, dar si scoatem factorii de sub radicali:

Astfel obtinem

\left(2\sqrt{2}-1\right)^{2}+2\sqrt{8}=

\left(2\sqrt{2}\right)^{2}-2\cdot 2\sqrt{2}\cdot 1+1^{2}+2\sqrt{2^{2}\cdot 2}=

2^{2}\cdot\left(\sqrt{2}\right)^{2}-4\sqrt{2}+1+2\cdot 2\sqrt{2}=

4\cdot 2-4\sqrt{2}+1+4\sqrt{2}=8+1=9

Observati ca la formula de calcul prescurtat a=2\sqrt{2} si b=1, adica ridicam tot numarul la puterea a doua.

 

5. Media geometrica a numerelor a=\frac{2}{2-\sqrt{6}}+\sqrt{\left(2-\sqrt{6}\right)^{2}}+|-5| si b=|\sqrt{2}-2|+|2+\sqrt{3}|+\sqrt{\left(2\sqrt{3}-3\sqrt{2}\right)^{2}}-|\sqrt{3}-2\sqrt{2}| este egal cu…

Solutie:

Pentru a calcula media geometrica a numerelor trebuie sa stim formula pentru calcularea mediei geometrice a doua numere a si b, astfel

M_{g}=\sqrt{a\cdot b}

Dar mai intai aducem numerele a si b la o forma mai simpla:

a=\frac{2}{2-\sqrt{6}}+\sqrt{\left(2-\sqrt{6}\right)^{2}}+|-5|=    \frac{2\left(2+\sqrt{6}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{6}\right)^{2}}+|2-\sqrt{6}|+5=    \frac{2\left(2+\sqrt{6}\right)}{4-6}+\sqrt{6}-2+5=    \frac{2\left(2+\sqrt{6}\right)}{-2}+\sqrt{6}+3=-\left(2+\sqrt{6}\right)+\sqrt{6}+3=-2-\sqrt{6}+\sqrt{6}+3=1

Observati ca pentru a aduce numarul a la o forma mai simpla mai intai la fractie am rationalizat numitorul, adica

\frac{1}{a\sqrt{b}+c\sqrt{d}}=\frac{1\cdot\left(a\sqrt{b}-c\sqrt{d}\right)}{\left(a\sqrt{b}\right)^{2}-\left(c\sqrt{d}\right)^{2}}, dar am tinut cont si ca \sqrt{a^{2}}=|a| si cum stim ca \sqrt{6}>2 am obtinut \sqrt{\left(2-\sqrt{6}\right)}=|2-\sqrt{6}|=\sqrt{6}-2, dar si ca |-a|=a, ia3 apoi am efectuat calculele.

Acum sa calculam b

b=|\sqrt{2}-2|+|2+\sqrt{3}|+\sqrt{\left(2\sqrt{3}-3\sqrt{2}\right)^{2}}-|\sqrt{3}-2\sqrt{2}|=    =2-\sqrt{2}+2+\sqrt{3}+|2\sqrt{3}-3\sqrt{2}|-\left(2\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)=    =4-\sqrt{2}+\sqrt{3}+3\sqrt{2}-2\sqrt{3}-2\sqrt{2}+\sqrt{3}=    4+0+0=4

In cazul numarului b, folosim definitia modulului adica

|a|=a,\;\; daca\;\; a>0

|a|=-a, \;\;daca \;\; a<0

Si |a|=0\;\; daca \;\; a=0

In cazul nostru stim ca 2>\sqrt{2}, deci |\sqrt{2}-2|=-\left(\sqrt{2}-2\right)=-\sqrt{2}+2=2-\sqrt{2}

Dar si regula de la radicali, adica \sqrt{a^{2}}=|a|, care la fel ca mai sus, am discutat modulul, adica

\sqrt{\left(2\sqrt{3}-3\sqrt{2}\right)^{2}}=|2\sqrt{3}-3\sqrt{2}|

dar acum sa vedem care este mai mare, daca introducem factorii sub radicali obtinem

2\sqrt{3}=\sqrt{2^{2}\cdot 3}=\sqrt{4\cdot 3}=\sqrt{12}

Si

3\sqrt{2}=\sqrt{3^{2}\cdot 2}=\sqrt{9\cdot 2}=\sqrt{18}

Si observam ca

\sqrt{18}>\sqrt{12}

Deci

3\sqrt{2}>2\sqrt{3}

si astfel obtinem

|2\sqrt{3}-3\sqrt{2}|=-\left(2\sqrt{3}-3\sqrt{2}\right)=3\sqrt{2}-2\sqrt{3}, la fel am procedat si la ultimul modul.

Apoi am efectuat calculele, adica am adunat termenii care aveau acelasi radical, dar si termenii liberi si am obtinut rezultatul 4.

Deeci M_{g}=\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{1\cdot 4}=\sqrt{4}=2

6. Scrisa sub forma de reuniune de intervale , multimea A=\left\{x\in R||2x-3|>5\right\} este egal cu ….

Solutie:

Mai intai consideram cazul, modulului pozitiv, adica calculam

2x-3>5\Rightarrow 2x>5+3\Rightarrow 2x>8\Rightarrow x>4\Rightarrow x\in\left(4; +\infty\right)

Dar si cand modulul este negativ, adica

-2x+3>5\Rightarrow -2x>5-3\Rightarrow -2x>2|\cdot\left(-1\right)\Rightarrow 2x<-2\Rightarrow x<-1\Rightarrow x\in \left( -\infty; -1\right)

asadar in cazul acestei inegalitati, consideram mai intai modulul pozitiv, iar apoi modului negativ.

Iar solutia scrisa sub forma de reuniune de intervale este

\left(-\infty, -1\right)\cup\left(4, +\infty\right)

Vom mai reveni si in alte articole cu subiecte pentru teza clasa a VIII a.