Cum aplicam Teorema lui Thales?

Teorema lui Thales ne ajuta sa aflam lungimea unor segmente intr-un triunghi, daca stim da o dreapta este paralela cu o alta dreapta in triunghi si stim anumite lungimi de segmente.

Teorema. O paralela la una dintre laturile unui triunghi determina pe celelalte doua laturi segmente omoloage proportionale.

Fie triunghiul ABC, cu DE||BC
Atunci
$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$
Atentie, aplicam Teorema lui Thales doar daca se verifica ipotezele teoremei, adica trebuie sa avem o paralela intr-un triunghi.
Aplicatii:
Intr-un triunghi dreptunghic ABC, cu $m\left(\widehat{A}\right)=90^{0}, m\left(\widehat{C}\right)=30^{0}$ se iau punctele $D\in(AC)$ si $F\in(BC)$ astfel incat EF||AB si $\frac{AE}{AC}=\frac{3}{8}$ . Daca EF=10 cm, calculati:
a) FC
b) BC
c) AB

Demonstratie :

Observam ca EF||AB, deci cu Criteriile de paralelism, observam ca BC este secanta si astfel obtinem ca
$m\left(\widehat{CFE}\right)=m\left(\widehat{CBA}\right)=60^{0}$ (ca unghiuri corespondente), dar si
$m\left(\widehat{CEF}\right)=m\left(\widehat{CAB}\right)=90^{0}$ (ca unghiuri corespondente)
Astfel obtinem ca triunghiul EFC este dreptunghic in E si putem sa aplicam Teorema $30^{0}-60^{0}-90^{0}$ , adica
$EF=\frac{FC}{2}\Rightarrow 10=\frac{FC}{2}\Rightarrow FC=2\cdot 10=20\;\; cm$
Deci obrinem ca FC=20 cm.
Acum ca sa aflam BC, stim din ipoteza ca EF||BC, deci putem sa aplicam Teorema lui Thales, si obtinem
$\frac{AE}{AC}=\frac{BF}{BC}\Rightarrow$
$\frac{3}{8}=\frac{BC-FC}{BC}\Rightarrow$
$\frac{3}{8}=\frac{BC-20}{BC}\Rightarrow$
$3\cdot BC=8\cdot\left(BC-20\right)\Rightarrow$
$3BC=8BC-8\cdot 20\Rightarrow 3BC-8BC=-160\Rightarrow$
$-5BC=-160\Rightarrow BC=\frac{-160}{-5}=32$

Acum ca am aflat BC, in triunghiul ABC dreptunghic in A stim $m\left(\widehat{ACB}\right)=30^{0}$ putem aplica Teorema $30^{0}-60^{0}-{90}$ , adica
$AB=\frac{BC}{2}=\frac{32}{2}=16 cm$

Asadar este important in rezolvarea problemelor de geometrie sa folosim toate informatiile care ni le da ipoteza. Observati ca in cazul problemei de mai sus am mai folosit si criteriile de paralelism ca le am invatat in clasa a VI-a.