Tetraedrul

Ce este tetraedrul?

Poate ati auzit de el dupa ce ati invatat piramida.

Trebuie sa stim ca tetraedrul este corpul geometric cu cel mai mic numar de fete.

Astfel daca consideram patru puncte necoplanare pe care le unim obtinem corpul geometric cu cel mai mic numar e fete, adica:

cand patru puncte sunt necoplanare

astfel daca unim cele patru puncte necoplanare obtinem corpul geometric numit tetraedru.

tetraerul

Segmentele:

[AB], [BC], [CD], [DA], [BD], [AC] se numesc muchiile tetraedrului

iar triunghiurile ABC, ACD, ABD, BCD se numesc fetele tetraedrului.

Reuniunea acestor fete formeaza suprafata tetraedrului.

Dar important pentru problemele care o sa le rezolvam e sa stim ce inseamna tetraedru regulat.

Definitie: Un tetraedru se numeste regulat daca are toate muchiile congrunete.

Adica ABCD tetraedru regulat, daca AB=BC=CD=DA=BD=AC, mai mult toate fetele tetraedrului sunt triunghiuri echilaterale.

Aplicatii:

Tetraedrul regulat ABCD are muchia de 6 cm, notam cu M si N mijloacele segmentelor AB si AC.

a) Demonstrati ca MN\perp AB si MN\perp CD

b) Calculati lungimea segmentului MN

cum aratam ca o dreapta este perpendiculara pe o alta dreapta

Ca sa demonstram ca MN este perpendiculara pe AB, construim

BN\perp CD in triunghiul BCD.

Si in triunghiul ACD unim punctul A cu punctul N, care este mijlocul segmentului BC, deci AN mediana, dar cum triunghiul ACD echilateral, rezulta ca AN este si inaltime (acest lucru rezulta de la proprietatea triunghiului echilateral), deci  obtinem AN=\frac{l\sqrt{2}}{3}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\;\; cm

Astfel stim ca triunghiul BCD este triunghi echilateral, deci putem afla inaltimea h_{\Delta BCD}=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}

Deci obtinem ca AN=BN=3\sqrt{3}

deci triunghiul ANB este isoscel de baza AB, din ipoteza stim ca M este mijlocul lui AB, deci MN este mediana, dar cu proprietatea de la triunghiul isoscel (intr-un triunghi isoscel mediana, mediatoarea, inaltimea si bisectoarea corespunzatoare bazei coincid), deci stim ca MN este mediana, dar si inaltime, adica MN\perp AB

Acum ca sa aratam ca MN este perpendicular pe CD , construim acum:

Acum ca sa aratam ca MN este perpendicular pe CD, in triunghiul ABC unim mijlocul segmentului AB cu punctul C, si cu triunghiul ABC este echilateral obtinem ca CM este si inaltime si obtinem CM=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}

Dar si in triunghiul ABD unim varful triunghiului D cu mijlocul laturii AB si obtinem MD=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}

Deci triunghiul MCD este isocel si N mijlocul lui CD, adica mediana, dar cu proprietatea de la triunghiul isoscel rezulta ca MN este si inaltime, adica MN\perp CD

cum aratam ca doua drepte sunt perpendiculare

b) Ca sa aflam lungimea segmentului MN, in triunghiul dreptunghic MND aplicam teorema lui Pitagora, deoarece stim ca CN=ND=\frac{CD}{2}=\frac{6}{2}=3

Iar MC il stim de mai sus si obtinem

MN^{2}=MC^{2}-CN^{2}\Rightarrow MN^{2}=\left(3\sqrt{3}\right)^{2}-3^{2}\Rightarrow MN=\sqrt{27-9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}

Deci e important sa stim toate notiunile in legatura cu tetraedru, dar si notiunile de geometrie plana, adica teoremele care le-am invatat pana acum.