Trapezul

Dupa cum stim, patrulaterul convex pe care l-am invatat pana acum a fost paralelogramul.

Stim ca patrulaterul convex cu laturile doua cate doua paralele se numeste paralelogram.

In cadrul acestui articol o sa mai invatam inca un patrulater convex si anume trapezul.

Astfel patrulaterul convex care  doua laturi opuse paralele, iar celelalte doua neparalele  se numeste trapez.

trapezu

ABCD trapez daca si numai daca AB||CD si AD nu este paralela cu BC

Observatie! Laturile paralele ale trapezului se numesc baze, astfel la noi

[AB]- este baza mare

[CD]- baza mica

Iar distanta dintre cele doua baze se numeste inaltimea trapezului.

Trapezul se imparte in doua categorii:

– trapezul isoscel

– trapezul dreptunghic

Definitie:

Un trapez se numeste isoscel daca laturile neparalele sunt congruente

cum arata un trapez isoscel

Trapezul ABCD isoscel daca si numai daca AB||CD, AD nu este paralel cu BC si [AB]\equiv [BC]

Un trapez se numeste trapez dreptunghic, daca are una dintre laturile neparalele perpendiculare pe baze.

cum arata un trapez dreptunghic

ABCD trapez dreptunghic, daca si numai daca AB||CD si AD nu este paralele cu BC si AD\perp AB, adica m\left(\widehat{A}\right)=90^{0}

Dar trapezul isosce are si anumite proprietati particulare, astfel avem:

Teorema referitoare la unghirile alaturate unei baze :

Intr-un trapez isoscel unghiurile alaturate unei bazei sunt congrunete.

ABCD trapez isoscel, adica AB|| CD si AD nu este paralele cu BC, si [AD]\equiv [BC], rezulta si ca \widehat{A}\equiv\widehat{B}

Importanta este si reciproca teoremei, astfel:

Reciproca teoremei referitoare la unghiurile alaturate unei baze, avem:

Daca intr-un trapez unghiurile alaturatei baze sunt congruente, atunci trapezul este isoscel.

Aceasta reciproca putem sa o folosim pentri a rezolva unele probleme.

Teorema referitoare la diagonale :

Intr-un trapez isoscel diagonalele sunt congrunete.

cum sunt diagonalele intr-un trapez isoscel?

ABCD trapez isoscel, rezulta ca [AC]\equiv [BD], unde AC si BD sunt diagonale in trapez.

Iar reciproca teoremei este:

Daca intr-un trapez diagonalele sunt congrunete, atunci trapezul este isoscel.

ABCD trapez si [AC]\equiv [BD], atunci ABCD trapez isoscel.

Aplicatii:

1. In trapezul dreptunghic ABCD, AB>CD, m\left(\widehat{A}\right)=90^{0}, doagonala BD este bisectoarea unghiului ABC. Daca m\left(\widehat{ABC}\right)=60^{0} si BD= 36 cm.

a) demonstrati ca [BC]\equiv[CD]

b) Calculati lungimea segmentului [AD]

Demonstratie

cum aratam ca doua segmente sunt congruente

Stim ca BD este bisectoarea unghiului ABC, dar mai stim si ca m\left(\widehat{ABC}\right)=60^{0}

Astfel obtinem ca m\left(\widehat{ABD}\right)=m\left(\widehat{DBC}\right)=\frac{m\left(    \widehat{ABC}\right)}{2}=\frac{60^{0}}{2}=30^{0}.

Observam ca triunghiul ABD este dreptunghic in A, astfel stim ca m\left(\widehat{A}\right)=90^{0}, dar si m\left(\widehat{B}\right)=30^{0}

Deci in triunghiul ABD putem afla masura unghiului D m\left(\widehat{A}\right)+m\left(\widehat{B}\right)+m\left(\widehat{D}\right)=180^{0}\Rightarrow 90^{0}+30^{0}+m\left(\widehat{D}\right)=180^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{D}\right)=180^{0}-120^{0}=60^{0}

Deci stim ca m\left(\widehat{ADB}\right)=60^{0}

Dar stim ca in trapezul ABCD m\left(\widehat{ADC}\right)=90^{0}

Deci stim ca m\left(\widehat{ADB}\right)+m\left(\widehat{BDC}\right)=m\left(\widehat{ADC}\right)    \Rightarrow 60^{0}+m\left(\widehat{BDC}\right)=90^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{BDC}\right)=90^{0}-60^{0}=30^{0}

Deci in triunghiul BCD m\left(\widehat{CDB}\right)=m\left(\widehat{CBD}\right)=30^{0}

Deci obtinem ca triunghiul BCD este isoscel de baza BC, deoarece cu proprietatea de la triunghiul isoscel stim ca daca intr-un triunghi doua unghiuri sunt congrunete atunci triunghiul este isoscel.

Si astfel am demonstrat si ca [BC]\equiv [CD]

 

b)  Pentru a afla lungimea segmentului AD stim e mai sus ca triunghiul ADB este dreptunghic si m\left(\widehat{ABD}\right)=30^{0}

Deci putem afla lungimea segmentului AD cu Teorema 30-60-90

AD=\frac{BD}{2}=\frac{36}{2}=18\;\; cm