Unghiul determinat de doua drepte cu o secanta

Inainte de a discuta despre unghiul determinat de doua drepte cu o secanta, enuntam notiunea de Secanta.

despre unghiuri am tot vorbit, dar mai intai sa enuntam definitia secantei

Definitie. O drepata care intersecteaza doua drepte distincte, oarecare in doua puncte diferite se numeste secanta.

Astfel fie dreptele a si b, care sunt intersectate de dreapta d in doua puncte diferite, astfel avem

dreapta d secanta

cum definim secanta

 

In figura de mai sus

a\cap d=\left\{A\right\}

b\cap d=\left\{B\right\}

Asadar observam ca intre dreptele a si b cu secanta d s-au format 8 unghiuri, care o sa vedem mai departe, acestea poarta denumiri sugerate de pozitiile pe care le ocupa.

care sunt unghiurile alterne externe

 

 

Fata de dreptele date a si b, unghiurile:4, 3, 5, 6 sunt interne, iar unghiurile 1, 2, 7, 8 sunt externe.

Fata de secanta d, unghiurile 1, 4, 5, 8  (sau 2, 3, 6, 7) sunt de aceiasi parte a secantei., iar unghiurile 1, 6 si 2, 5 sunt de o parte si de alta a secantei.

Dar mai mult unghiurile determinate cu doua drepte cu o secanta se denumesc astfel:

–  unghiuri  alterne interne 4 si 6 sau 3 si 5

– unghiuri alterne externe 1 si 7 sau 2 si 8

-unghiuri corespondente 1 si 5 sau 4 si 8 sau 2 si 6 sau 3 si 7

– unghiuri interne de aceiasi parte a secantei: 4 si 5 sau 3 si 6

– unghiuri externe de aceiasi parte a secantei: 1 si 8 sau 2 si 7.

Inca din clasele mai mici stim cand doua drepte sunt paralele, adica doua drepte coplanare (care se afla in acelasi plan) se numesc paralele daca nu au niciun punct in comun.

 

Dreptele d si g sunt paralele si scriem d||g

Exista mai multe criterii de paralelism
Aceste criterii ne ajuta in rezolvarea problemelor sa demonstram ca doua drepte sunt paralele.
Daca doua drepte determina cu o secanta o pereche de unghiuri alterne interne congruenete, atunci dreptele sunt paralele.
unghiuri alterne interne congruente
Redactare de simboluri
\widehat{1}\equiv\widehat{2}
\widehat{1}\;\; si \widehat{2}alterne interne formata de dreptele a si b cu secanta d, rezulta ca dreptele sunt paralele  si notam: a||b

Daca doua drepte determina cu o secanta o pereche de unghiuri alterne externe congruente, atunci dreptele sunt paralele.

Daca doua drepte determina cu o secanta o pereche de unghiuri corespondente  congruente, atunci dreptele sunt paralele.

Daca doua drepte determina cu o secanta o pereche de unghiuri interne de aceiasi parte a secantei  suplemetare, atunci dreptele sunt paralele.

Daca doua drepte determina cu o secanta o pereche de unghiuri externe de aceiasi parte a secantei  suplemetare, atunci dreptele sunt paralele.

Dar exista si reciprocele teoremelor prezentate mai sus:

Doua drepte paralele determina cu orice secanta unghiuri alterne interne congruente.

Doua drepte paralele determina cu orice secanta unghiuri alterne externe congruente.

Doua drepte paralele determina cu orice secanta unghiuri  interne de aceeasi parte a secantei suplementare.

Doua drepte paralele determina cu orice secanta unghiuri  externe de aceeasi parte a secantei suplementare.

Problema

1. Doua drepte paralele a si b intersectate de secanta d, etermina 8 unghiuri.

Masurile a doua dintre cele 8 unghiuri se exprima in grade prin x si 2x+30^{0}.

Determinati masurile unghiurilor

Demonstratie:

Mai intai daca consideram ca unghiurile sunt opuse la varf, stim ca sunt congruente, deci obtinem ca:

x=2x+30^{0}\Rightarrow x-2x=30^{0}\Rightarrow -x=30^{0}|:2\Rightarrow -x=15^{0}\Rightarrow x=-15^{0}

Ceea ce este imposibil.

Deci cele doua unghiuri nu pot sa  fi alterne interne, alterne externe, sau coresponente.

Mai avem posibilitaite ca cele doua unghiuri sa fie interne de aceeasi parte a secantei, deci stim ca

x+2x+30^{0}=180^{0}\Rightarrow 3x+30^{0}=180^{0}\Rightarrow 3x=180^{0}-30^{0}\Rightarrow 3x=150^{0}|:3\Rightarrow x=50^{0}

Deci masura unui unghi este de 50 de grade, iar celallate unghi are masura de

2x+30^{0}=2\cdot 50^{0}+30{0}=100^{0}+30^{0}=130^{0}.

Iar acum stim ca cele doua drepte sunt paralele si taiate e o secanta deci cu teorema directa unghiurile alterne interne sunt congruente, astfel obtinem ca 4 dintre cele 8 unghiuri au masura de 50 de grade si 4 dintre ele au masura de 130 de grade.unghiuri interne de aceeasi parte a secantei