Cum calculam unghiul a doua drepte in spatiu

Notiunea de unghi o cunoastem. Adica putem sa calculam masura unui unghi cand stim anumite notiuni in ipoteza unei probleme.

Stim ca unghiul este figura geometrica formata din doua semidrepte care au un singur punct in comun.

Dar noi, in acest articol, o sa discutam despre unghiul a doua drepte in spatiu, adica unghiul a doua drepte coplanare, dar si unghiul a doua drepte necoplanare.

Unghiul a doua drepte coplanare

Mai intai sa ne reaminti ce inseamna drepte coplanare: Dreptele colpanare sunt dreptele situate in acelasi plan (paralele, concurente, confundate)

fie $d_{1}$ si $d_{2}$ doua drepte in spatiu:

-Daca $d_{1}||d_{2}$ sau $d_{1}=d_{2}$ , atunci $m\left(\widehat{d_{1}, d_{2}}\right)=0^{0}$

-Daca $d_{1}\cap d_{2}=\left\{O\right\}$ , atunci cele doua drepte formeaza in jurul punctului O patru unghiuri, doua cate doua opuse la varf, adica congrunete

Teorema. Doua unghiuri cu laturile respectiv paralele sunt congruente sau suplementare.

Unghiul a doua drepte decolpanare

Definitie: Prin unghiul a doua drepte in spatiu intelegem orice unghi ascutit sau drept cu varful in orice punct al spatiului.

Fie doua drepte necoplanare d si g

Construim unghiul dintre dreptele d si g astfel:

– mai intai consideram un punct oarecare O in spatiu

– ducem OA||g si OB||d

astfel incat $m\left(\widehat{AOB}\right)\leq 90^{0}$

– unghiul dintre dreptele d si g este unghiul AOB

Definitie: Doua drepte se numesc perpendiculare daca masuria unghiurilor lor este de $90^{0}$ .

Si scriem $d_{1}\perp d_{2}$ si citim dreapta $d_{1}$ este perpendiculara pe dreapta $d_{2}$

Aplicatii:

Se considera cubul ABCDA’B’C’D’, Notam cu O si Q centrele fetelor ABCD respectiv BCC’B’. Determinati masuriile unghiurilor

a) $m\left(\widehat{\left(D'O, AC\right)}\right)$

b) $m\left(\widehat{\left(D'O,BC'\right)}\right)$

c) $m\left(\widehat{\left(OQ, A'B'\right)}\right)$

Demonstratie:

Mai intai realizam corpul geometric, adica cubul:

Observam ca dreapta D’O intersecteaza AC in punctul O, deci dreptele sunt coplanare, acum sa aflam masura unghiului dintre cele doua drepte

$m\left(\widehat{D'O, AC}\right)=m\left(\widehat{D'OA}\right)$

Observam ca triunghiul AD’C este triunghi echilateral, deoarece AD’, D’C si AC sunt diagonalele fetelor cubului si astfel obtinem $AD'=D'C=AC=l\sqrt{2}$

Deci D’O este mediana in triunghiul echilateral AD’C, ar cu proprietatea de la triunghiul echilateral obtinem ca D’O este si inaltime si astfel obtinem ca

$m\left(\widehat{D'OA}\right)=90^{0}$

b) $m\left(\widehat{D'O, BC'}\right)$

Observam ca BC’ si D’O sunt necoplanare, astfel gasim BC’||AD’

Si astfel obtinem unghiul dintre dreptele $m\left(\widehat{D'O,AD'}\right)=m\left(\widehat{AD'O}\right\}=$

Stim ca triunghiul AD’O este dreptunghic in O

Mai stim si ca AO este diagonala in patratul ABCD, astfel avem:

$AO=\frac{l\sqrt{2}}{2}$

AD’ la fel diagonala in patrat si astfel avem ca $AD'=l\sqrt{2}$

Iar D’O inaltime in triunghiul echilateral AD’C si stim ca $DO=\frac{l\sqrt{3}}{2}$ ar cu teorema $30^{0}-60^{0}-90^{0}$ obtinem ca in triunghiul AD’O , masura unghiului D’ este 30 de grade

$m\left(\widehat{AD'O}\right)=30^{0}$

c) $m\left(\widehat{OQ,A'B'}\right)$

Stim din ipoteza ca O este centrul patratului ABCD, deci se afla la intersectia diagonalelor, adica mijlocul diagonalelor, la fel si Q este punctul de intersectie in patratul BCC’B’, deci tot la mijlocul diagonalelor, astfel observam OQ este linie mijlocie in triunghiul ACD’

Astfel cu teorema de la linia mijlocie obtinem ca $OQ=\frac{DD'}{2}$

Dar si $OQ||DD'$

Astfel unghiul devine

c) $m\left(\widehat{OQ,A'B'}\right)=m\left(\widehat{DD', A'B'}\right)$

Dar observam ca in cub DD’||AA’

Si unghiul devine $m\left(\widehat{DD', A'B'}\right)=m\left(\widehat{AA', A'B'}\right)=m\left(\widehat{AA'B'}\right)=45^{0}$

Observam ca triunghiul AA’B’ este dreptunghic isoscel, deoarece fetele laterale sunt patrate, iar o diagonala a patratului imparte patratul in doua triunghiuri dreptunghice isoscele.