Unghiuri adiacente Bisectoarea unui unghi

Dupa ce am introdus  notiunea de unghi si am facut clasificarea unghiurilor, pentru cei care nu va reamintiti click aici. Vine vremea sa discutam despre unghiuri adiacente, dar si bisectoarea unui unghi.

Dar cu ce ne ajuta sa stim notiunea de unghi, notiunea de unghiuri adiacente, dar si notiunea de bisectoare. Intrebari pe care le puneti majoritatea dintre  voi.

Raspunsul il aflati pe parcursul acestui articol.

Mai intai definim notiunea de unghiuri adiacente

Definitie:

Doua unghiuri se numesc adiacente, daca au o semidreapta in comun si interioarele disjuncte (adica interioarele diferite, interioarele nu au aceiasi marime).

unghiuri adiacente

Daca unghiurile \widehat{AOB} si \widehat{BOC} sunt adiacente, atunci

– [OB este semidreapta comuna si

m\left(\widehat{AOB}\right)\neq m\left(\widehat{BOC}\right)

Dar si: m\left(\widehat{AOB}\right)+m\left(\widehat{BOC}\right)=m\left(\widehat{AOC}\right)

Mai stim si ca: m\left(\widehat{AOB}\right)=m\left(\widehat{AOC}\right)-m\left(\widehat{BOC}\right)

Dar mai putem afla si m\left(\widehat{BOC}\right)=m\left(\widehat{AOC}\right)-m\left(\widehat{AOB}\right)

Acum definim si notiunea de bisectoare:

Definitie: Bisectoarea unui unghi este semidreapta care imparte unghiul in doua unghiuri congrunete (adica semidreapta care imparte unghiul in doua unghiuri cu aceiasi marime)

ce inseamna bisectoarea unui unghi

Observam ca in figura de mai sus \widehat{EDG}\equiv\widehat{FDG}\Rightarrow m\left(\widehat{EDG}\right)=m\left(\widehat{FDG}\right)

Stim ca masura unghiului m\left(\widehat{EDF}\right)=90^{0}

Deci cum stim ca [DG este semindreapta care imparte unghiul EDF in doua unghiuri congrunete gasim ca m\left(\widehat{EDG}\right)=m\left(\widehat{FDG}\right)=\frac{m\left(\widehat{EDF}\right)}{2}=\frac{90^{0}}{2}=45^{0}

Bisectoarea unui unghi putem sa o construim cum  ajutorul unui raportor sau cu ajutorul riglei negradate si a compasului.

Cu ajutorul raportorului este simplu, deoarece dupa ce am invatat sa masura unghiurile cu raportorul si procedam astfel:

– masuram unghiul

– impartim masura unghiului la 2

– reprezentam semidreapta care formeaza unghiuri congruente cu laturile unghiului, adica bisectoarea unghiului

Aplicatii:

1. Daca [OD, respectiv [OE sunt bisectoarele unghiurilor adiacente \widehat{AOB} si \widehat{BOC}, iar m\left(\widehat{DOE}\right)=65^{0}, aflati:

a) m\left(\widehat{AOC}\right)

b) m\left(\widehat{AOB}\right), m\left(\widehat{BOC}\right), daca m\left(\widehat{AOD}\right)=4\cdot m\left(\widehat{BOC}\right)

Demonstratie:

probleme rezolvate cu bisectoarea unui unghi

Stim din ipoteza problemei ca:

– [OD bisectoarea unghiului AOB, deci obtinem

m\left(\widehat{DOB}\right)=m\left(\widehat{AOD}\right)=\frac{m\left(\widehat{AOB}\right)}{2}

Deci obtinem ca m\left(\widehat{DOB}\right)=\frac{m\left(\widehat{AOB}\right)}{2}

– [OE este bisectoarea unghiului BOC, deci cu notiunile definite mai sus, obtinem ca m\left(\widehat{BOE}\right)=m\left(\widehat{EOC}\right)=\frac{m\left(\widehat{BOC}\right)}{2}

Deci obtinem ca m\left(\widehat{BOE}\right)=\frac{m\left(\widehat{BOC}\right)}{2}

Dar m\left(\widehat{DOE}\right)=m\left(\widehat{DOB}\right)+m\left(\widehat{BOE}\right)

\Rightarrow 65^{0}=\frac{m\left(\widehat{AOB}\right)}{2}+\frac{m\left(\widehat{BOC}\right)}{2}\Rightarrow

65^{0}=\frac{m\left(\widehat{AOB}\right)+m\left(\widehat{BOC}\right)}{2}|\cdot 2\Rightarrow

65^{0}\cdot 2=m\left(\widehat{AOB}\right)+m\left(\widehat{BOC}\right)

\Rightarrow m\left(\widehat{AOB}\right)+m\left(\widehat{BOC}\right)=130^{0}

Dar stim ca m\left(\widehat{AOC}\right)=m\left(\widehat{AOB}\right)+m\left(\widehat{BOC}\right)

Deco obtinem ca m\left(\widehat{AOC}\right)=130^{0}

Observati ca pentru a afla masura unghiurilor am folosit notiunile invatate pana acum, adica notiunea de bisectoare, dar si inmultirea gradelor cu un numar natural.

b) Stim ca m\left(\widehat{AOB}\right)=4\cdot m\left(\widehat{BOC}\right)

Stim ca m\left(\widehat{AOC}\right)=m\left(\widehat{AOB}\right)+m\left(\widehat{BOC}\right)

Dar de la punctul anterior stim ca m\left(\widehat{AOC}\right)=130^{0}

Deci relatia devine 130^{0}=4\cdot m\left(\widehat{BOC}\right)+m\left(\widehat{BOC}\right)\Rightarrow 5m\left(\widehat{BOC}\right)=130^{0}|:5\Rightarrow m\left(\widehat{BOC}\right)=26^{0}

Deci gasim ca m\left(\widehat{BOC}\right)=26^{0}

Acum putem sa aflam si masura unghiului AOB, deoarece stim ca

m\left(\widehat{AOB}\right)=4\cdot m\left(\widehat{BOC}\right)=4\cdot 26^{0}=104^{0}

Observati ca pentru a rezolva exercitiul de mai sus am folosit si suma masurii unghiurilor.

Din ipoteza problemei stim ca unghiurile AOB si BOC sunt adiacente, de unde am gasit ca au o semidreapta in comun, adica semidreapta [OB, dar interioarele disjuncte m\left(\widehat{AOB}\right)\neq m\left(\widehat{BOC}\right), iar bisectoarele celor doua unghiuri formeaza un unghi cu masura de 65^{0}

Deci pentru a ne verifica stim ca m\left(\widehat{DOB}\right)=m\left(\widehat{AOD}\right)=\frac{m\left(\widehat{AOB}\right)}{2}=\frac{26^{0}}{2}=13^{0}

Dar si m\left(\widehat{BOE}\right)=m\left(\widehat{EOC}\right)=    \frac{m\left(\widehat{BOC}\right)}{2}=\frac{104^{0}}{2}=52^{0}

Dar stim ca bisectoarele celor doua unghiuri formeaza un unghi cu masura de 65 grade.

m\left(\widehat{DOB}\right)+m\left(\widehat{BOE}\right)=    13^{0}+52^{0}=65^{0}

Deci se verifica.

Asadar, notiunea de unghi, dar si notiunea de unghi adicent, bisectoarea unui unghi constitue baza pentru notiunile pe care o sa le invatam in ani ce urmeaza, iar aceste notiuni ne ajuta in viata de zi cu zi, cand avem sa construim ceva, deci geometria ajuta mai tot timpul.