Valoarea absoluta a unui numar rational Ordonarea numerelor rationale

In acest articol o sa invatam despre valoarea absoluta a unui numar rational.

Majoritatea problemelor pe care le intampinam in exercitiile cu module sau valoarea absoluta sunt daca stim sau nu cum sa-l explicitam. In acest caz apare si ordonarea numerelor rationale.

Astfel trebuie sa stim ca pentru orice numar rational x, modulul sau valoarea absoluta a lui x, notat |x|, este egal cu:
x, daca x>0, adica x este pozitiv
x=0, daca x=0
-x, daca x<0, adica x este negativ

Ca sa ordonam doua numere rationale trebuie sa stim ca dintre doua numere rationale diferite, mai mare este cel care pe axa numerelor este reprezentat la dreapta celuilalt.

Dintre doua numere rationale negative, mai mare este cel care are modulul mai mic (adica cele care sunt pe axa numerelor mai aproape de o sunt mai mari, iar cele care sunt mai departe de 0 sunt mai mici).
Important in cazul modulului e sa stim anumite proprietati, deoarece ne ajuta in rezolvarea exercitiilor:

Proprietatile modulului unui numar rational sunt:
– |x|=0, daca si numai daca x=0
– $|x|\geq 0$, pentru orice x\in Q
|-x|=|x|, pentru orice x din Q]
|x\cdot y|=|x|\cdot |y|, pentru oricare x\in Q

Dar sa ne reamintim cum definim si multimea numerelor rationale:
Q=\left\{\frac{a}{b}|a, b\in Z,b\neq 0\right\}
unde cu Q stim ca am notat multimea numerelor rationale.

Dar trebuie sa stim si incluziunea N\subset Z\subset Q
Opusul unui numar rational x este numarul -x.

Exemple:
Comparati numerele:
a) \frac{3}{4} si 0,74
Ca sa comparam cele doua numere fie transformam fractia ordinara in fractie zecimala, fie transformam fractia zecimala in ordinara si astfel le comparam. Incepem prin a transforma fractia ordinara in fractie zecimala si obtinem \frac{3}{4}=3:4=0, 75
cum transformam fractiile ordinare in zecimale
Astfel acum avem de comparat fractiile zecimale
0,75 si 0,74, observam ca zecimile sunt egale, acum comparam sutimile si observam ca 5>4, deci 0,75>0,74 adica si \frac{3}{4}>0,74
Altfel putem transforma fractia zecimala in fractie ordinara, adica
0,74=\frac{74}{100}^{2}=\frac{37}{50}
Iar acum avem de comparat fractiile:
\frac{3}{4} si \frac{37}{50}
Efectuam produsul pe diagonala si obtinem:
3\cdot 50?4\cdot 37\Rightarrow 150>148
deci obtinem \frac{3}{4}>\frac{37}{50}

b) -\frac{3}{7} cu -\frac{5}{11}
La fel ca si la exemplul de mai sus efectuam produsul elementelor pe diagonala si obtinem: -3\cdot 11?7\cdot\left(-5\right)\Rightarrow -77<-35
Deoarece -35 este mult mai aproape pe axa numerelor de 0
compararea numerelor rationale
Astfel obtinem: -\frac{3}{7}>-\frac{5}{11}

Observam ca nu avem acelasi numitor, dar nici acelasi numarator, deci cea mai simpla modalitate de comparare a numerelor rationale, a fractiilor ordinare este cea prezentata mai sus.

Daca de exemplu avem acelasi numitor sau \frac{1}{2} si \frac{3}{2}

Observam ca primul numarator este mai mic decat cel de-al doilea, si astfel observam ca \frac{1}{2}<\frac{3}{2}, deoarece in primlu caz, avem o fractie subunitara iar in al doilea caz o fractie supraunitara.

c) 0,33 si 0,(3)
In cazul fractiilor zecimale de mai sus, observam ca ce-a de-a doua este o fractie zecimala periodica simpla si stim ca 0,(3)=0,3333
Deci obtinem ca 0,33<0,(3)
Deoarece in cazul primei fractii la miimi avem cifra zero, adica 0,33=0,33000
Iar in cazul celei de-a doua 0,(3)=0,333 si observam ca 3>0 de unde si rezultatul.

d) -2,0(5) si -2,05
Observam ca in cazul fractiilor de mai sus, avem doua fractii negative si in cazul primei fractii obtinem: -2,0(5)=-2,0555
Iar in cazul celei de-a doua avem -2,05=-2,0500
In cazul miililor ambelor fractii obtinem ca 5>0, dar observam ca avem fractii negative, adica numere rationale negative, deci cel mai mare este cel care se afla mai aproape de 0, astfel obtinem:
-2,0(5)<-2,05.cum comparam numerele intregi
Ca sa ne fie mai usor sa comparam numerele rationale este foarte important sa ne reamintim si compararea numerelor intregi.